吉安县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ A．1：2：3

B．2：3：4

C．3：2：4

D．3：1：2

）

2． 数列{an}满足a1=3，an﹣an•an+1=1，An表示{an}前n项之积，则A2016的值为（ A．﹣

B．

C．﹣1

D．1

））

3． 设集合S=|x|x＜﹣1或x＞5}，T={x|a＜x＜a+8}，且S∪T=R，则实数a的取值范围是（ A．﹣3＜a＜﹣1B．﹣3≤a≤﹣1

C．a≤﹣3或a≥﹣1

）

D．a＜﹣3或a＞﹣1

4． 下列命题正确的是（

A．很小的实数可以构成集合.

B．集合y|yx21与集合x,y|yx21是同一个集合.C．自然数集 N中最小的数是.D．空集是任何集合的子集.

5． 复数z=

（其中i是虚数单位），则z的共轭复数=（

D．﹣ +i

）

）

A．﹣iB．﹣﹣iC． +i

6． 在空间中，下列命题正确的是（

A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥n

B．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β

C．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥αD．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β7． 若实数x，y满足不等式组A．6

B．﹣6

）C．4

D．2

）

D．2x+y﹣5=0

C．x﹣2y﹣5=0

C．4

D．2

则2x+4y的最小值是（

）

8． 已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ A．2

B．6

9． 过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（ A．x﹣2y+7=0

B．2x+y﹣1=0

第 1 页，共 16 页

10．已知△ABC中，a=1，b=A．150°

和的最小值为（ A．3

B．90°）B．

，B=45°，则角A等于（

C．60°

）

D．30°

11．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之

C．D．

）

12．已知M={（x，y）|y=2x}，N={（x，y）|y=a}，若M∩N=∅，则实数a的取值范围为（ A．（﹣∞，1）　

B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，0）

D．（﹣∞，0]

二、填空题

13．已知i是虚数单位，复数

的模为　　　　　　．　

14．命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是　　　　　　．2ex1lnx15．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数fx若曲线y2xxaaR，

e1x（e为自然对数的底数）上存在点x0,y0使得ffy0y0，则实数a的取值范围为__________.

16．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是　　　　　　．17．已知f（x）=　

18．已知（1+x+x2）（x

）n（n∈N+）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n=　　　　　　．，则f[f（0）]=　　　　　　．三、解答题

19．已知Aa,a1,3,Ba3,3a1,a1,若AB3，求实数的值.

2220．（本小题满分12分）

第 2 页，共 16 页

如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，M为A1A的中点，AB＝BD＝2，且△BMC1为等腰三角形．

（1）求证：BD⊥MC1；

（2）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积．

21．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；

（2）求证：PA是圆O的切线．

第 3 页，共 16 页

22．已知函数f（x）=2x2﹣4x+a，g（x）=logax（a＞0且a≠1）．（1）若函数f（x）在[﹣1，3m]上不具有单调性，求实数m的取值范围；（2）若f（1）=g（1）①求实数a的值；②设t1=　

f（x），t2=g（x），t3=2x，当x∈（0，1）时，试比较t1，t2，t3的大小．

23．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣（1）求ω，φ；

＜φ＜）的部分图象如图所示；

（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称点为（

，0），求θ的最小值．

，

]时，方程f（x）=m有两个不等根，求m的取值范围．

（3）对任意的x∈[

第 4 页，共 16 页

24．设M是焦距为2的椭圆E： +

．

=1（a＞b＞0）A、B是椭圆E的左、上一点，右顶点，直线MA

与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣（1）求椭圆E的方程；（2）已知椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）上点N（x0，y0）处切线方程为

+=1，若P

是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．　

第 5 页，共 16 页

吉安县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，则球的体积V球=圆柱的体积V圆柱=2πR3圆锥的体积V圆锥=

故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：故选D

【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．　

2． 【答案】D

【解析】解：∵a1=3，an﹣an•an+1=1，∴…

∴数列{an}是以3为周期的周期数列，且a1a2a3=﹣1，∵2016=3×672，∴A2016 =（﹣1）672=1．故选：D．　

3． 【答案】A

【解析】解：∵S=|x|x＜﹣1或x＞5}，T={x|a＜x＜a+8}，且S∪T=R，∴

，解得：﹣3＜a＜﹣1．

，得

，

，a4=3，

：

=3：1：2

故选：A．　

4． 【答案】D【解析】

试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D是正确，故选D.

考点：集合的概念；子集的概念.

第 6 页，共 16 页

5． 【答案】C【解析】解：∵z=∴=故选：C．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．　

6． 【答案】 C

【解析】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确；对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确；

对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；故选：C．

【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．　

7． 【答案】B

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x+4y得y=﹣平移直线y=﹣直线y=﹣由

x+

x+，

x+经过点C时，

．

=

，

x+，由图象可知当直线y=﹣的截距最小，此时z最小，

，

，解得

即C（3，﹣3），

此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6．故选：B

第 7 页，共 16 页

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．　

8． 【答案】B

【解析】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．

由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC=

∴切线的长|AB|=故选：B．

【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．　

9． 【答案】A

【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0∵过点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x﹣2y+7=0故选A．

【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣2y+c=0．　

10．【答案】D

=

=2=6．

，CB=R=2，

第 8 页，共 16 页

【解析】解：∵根据正弦定理可知 ∴sinA=∴A=30°故选D．

=

，B=45°

【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．　

11．【答案】B

【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F（，0），

依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|，则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PM|≥|MF|=

=

．

．

即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为故选：B．

【点评】本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．　

12．【答案】D【解析】解：如图，

M={（x，y）|y=2x}，N={（x，y）|y=a}，若M∩N=∅，则a≤0．

∴实数a的取值范围为（﹣∞，0]．故选：D．

【点评】本题考查交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．　

第 9 页，共 16 页

二、填空题

13．【答案】　

　．

=

=i﹣1的模为

=

．

【解析】解：∵复数故答案为：

．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．　

14．【答案】　　．

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是：

．

故答案为：　

15．【答案】,e．

12ex11e2x2ex1【解析】结合函数的解析式：y2x可得：y'，22xe1e1令y′=0，解得：x=0，

当x>0时，y′>0，当x<0，y′<0，

则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减，则当x=0时，取最大值，最大值为e，∴y0的取值范围（0，e]，

x2lnx1lnx结合函数的解析式：fx，xaaR可得：f'xx2xx∈（0，e），f'x0，

则f（x）在（0，e）单调递增，下面证明f（y0）=y0．

假设f（y0）=c>y0，则f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不满足f（f（y0））=y0．同理假设f（y0）=clnxxax．xlnx1lnx设gx，求导g'x，2xx令函数fx第 10 页，共 16 页

当x∈（0，e），g′（x）>0，g（x）在（0，e）单调递增，当x=e时取最大值，最大值为ge当x→0时，a→-∞，∴a的取值范围,.

e1，e1点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．

（2）若可导函数f（x）在指定的区间D上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．16．【答案】　　．

【解析】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y=k（x﹣1），由

，消去x得

．

设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．∵|AF|=3|BF|，

∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y22=﹣4，消去y2得k2=3，解之得k=±故答案为：

．

．

【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．　

17．【答案】　1　．

【解析】解：f（0）=0﹣1=﹣1，f[f（0）]=f（﹣1）=2﹣1=1，故答案为：1．

【点评】本题考查了分段函数的简单应用．　

18．【答案】　5　．第 11 页，共 16 页

【解析】二项式定理．【专题】计算题．

【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（xx

）n（n∈N+）的通项公式讨论即可．

）n（n∈N+）的展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=

xn﹣rx﹣3r=

xn﹣4r，2≤n≤8，

）n（n∈N+）的展开式中无常数项、x﹣1项、x﹣2项，利用（

【解答】解：设（x

当n=2时，若r=0，（1+x+x2）（x当n=3时，若r=1，（1+x+x2）（x当n=4时，若r=1，（1+x+x2）（x

）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠3；）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠4；

）n（n∈N+）的展开式中均没有常数项，故n=5适合

当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x2）（x题意；

当n=6时，若r=1，（1+x+x2）（x当n=7时，若r=2，（1+x+x2）（x当n=8时，若r=2，（1+x+x2）（x综上所述，n=5时，满足题意．故答案为：5．

）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠6；）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠7；）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；

【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．

三、解答题

19．【答案】a【解析】

2．3第 12 页，共 16 页

考点：集合的运算.20．【答案】

【解析】解：（1）证明：如图，连接AC，设AC与BD的交点为E，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，

又AA1⊥平面ABCD，

BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD；又A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面A1ACC1，又MC1⊂平面A1ACC1，∴BD⊥MC1.

（2）∵AB＝BD＝2，且四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AE＝2AB2－BE2＝23，又△BMC1为等腰三角形，且M为A1A的中点，∴BM是最短边，即C1B＝C1M.则有BC2＋C1C2＝AC2＋A1M2，

第 13 页，共 16 页

即4＋C1C2＝12＋（CC）2，

2

4解得CC＝6，1

1

3

所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V＝S菱形ABCD×C1C4＝1AC×BD×C1C＝1×23×2×6＝82.

322

即四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为82.21．【答案】

【解析】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．

可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴

∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．

（2）连接AO，AB．

∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．

由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，

∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．

，得

．

【点评】本题求证直线是圆的切线，着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质和圆的切线判定定理等知识，属于中档题．　

22．【答案】

【解析】解：（1）因为抛物线y=2x2﹣4x+a开口向上，对称轴为x=1，所以函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，

第 14 页，共 16 页

因为函数f（x）在[﹣1，3m]上不单调，所以3m＞1，…（2分）得

，…（3分）

（2）①因为f（1）=g（1），所以﹣2+a=0，…（4分）所以实数a的值为2．…②因为t1=

f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

t2=g（x）=log2x，t3=2x，

所以当x∈（0，1）时，t1∈（0，1），…（7分）t2∈（﹣∞，0），…（9分）t3∈（1，2），…（11分）所以t2＜t1＜t3．…（12分）

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．23．【答案】

【解析】解：（1）根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣

=求得ω=2．

再根据五点法作图可得2•

+φ=

，求得φ=﹣

，∴f（x）=2sin（2x﹣

）．

）的图

，

＜φ＜

）的部分图象，可得

•

（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）=2sin=2sin（2x+2θ﹣象，

∵y=g（x）图象的一个对称点为（故θ的最小正值为（3）对任意的x∈[

．，

]时，2x﹣

∈[

，，

]，sin（2x﹣

，0），∴2•

+2θ﹣

=kπ，k∈Z，∴θ=

﹣

，

）∈，即f（x）∈，

∵方程f（x）=m有两个不等根，结合函数f（x），x∈[]时的图象可得，1≤m＜2．

第 15 页，共 16 页

24．【答案】

【解析】（1）解：设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则即n2=b2•由k1k2=﹣即有

，即

=﹣

，•，

=﹣

，

+

=1，

即为a2=2b2，又c2=a2﹣b2=1，解得a2=2，b2=1．即有椭圆E的方程为

+y2=1；

（2）证明：设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），则两切线方程PC，PD分别为：

+y1y=1，

+y2y=1，+y1y=1，

+y2y=1，

由于P点在切线PC，PD上，故P（2，t）满足得：x1+y1t=1，x2+y2t=1，

故C（x1，y1），D（x2，y2）均满足方程x+ty=1，即x+ty=1为CD的直线方程．令y=0，则x=1，故CD过定点（1，0）．

【点评】本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．　

第 16 页，共 16 页