(已修改)2013中考数学压轴题二次函数题型精选解析

1．如图，二次函数y129xc的图象经过点D3,，与x轴交于A、B两点． 22⑴求c的值；

⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；

⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

【答案】⑴ ∵抛物线经过点D(3,∴9) 2∵M是BD的中点 ∴M（

19(3)2c 2239,） 24设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点

∴c=6.

⑵过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，

∵AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC ∴DE=BF

又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE ∴△DEM≌△BFM

∴DM=BM 即AC平分BD

3323kb0k10 直线3解得9kbb9425AC的解析式为y339x. 105⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=43，于是以A点为圆心，AB=43为半径作圆与抛

物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分

线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”∴A（23,0）、B（23,0）

易得△AQP≌△ABP．

2．（2010福建福州）如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H． AHEF

（1）求证：＝；

ADBC

（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

【答案】解：（1）∵ 四边形EFPQ是矩形，∴ EF∥QP．

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12∵c=6. ∵抛物线为yx6

2 ∴ △AEF∽△ABC．

又∵ AD⊥BC， ∴ AH⊥EF． AHEF

∴ ＝ ADBC

AHx4

（2）由（1）得＝． AH＝x．

81054

∴ EQ＝HD＝AD－AH＝8－x，

5

444

∴ S矩形EFPQ＝EF²EQ＝x (8－x) ＝－x2＋8 x＝－（x－5）2＋20．

5554

∵ －＜0， ∴ 当x＝5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．

5

（3）如图1，由（2）得EF＝5，EQ＝4．

∴ ∠C＝45°， ∴ △FPC是等腰直角三角形． ∴ PC＝FP＝EQ=4，QC＝QP＋PC＝9．

分三种情况讨论：

① 如图2．当0≤t＜4时，

设EF、PF分别交AC于点M、N，则△MFN是等腰直角三角形．∴ FN＝MF＝t．

11

∴S＝S矩形EFPQ－SRt△MFN=20－t2＝－t2＋20；

22②如图3，当4≤t<5时，则ME＝5－t，QC＝9－t． 1

∴ S＝S梯形EMCQ＝[（5－t）＋（9－t ）]³4＝－4t＋28；

2

③如图4，当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC＝9－t． 11

∴ S＝S△KQC= (9－t)2＝( t－9)2．

22综上所述：S与t的函数关系式为：

(第2

120≤t4)，2t20　(S=4t28　（4≤t5)， 1(t9)2　（5≤t9)．2图2

图1

图3 图4

3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA＝5．若

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1

抛物线y＝x2＋bx＋c过O、A两点．

6

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由

(图1) (图2)

1

3．【答案】解：（1）把O（0，0）、A（5，0)分别代入y＝x2＋bx＋c，

6

5c0，b,得25解得6

5bc0.6c0.15

∴ 该抛物线的解析式为y＝x2－x．

66

（2）点C在该抛物线上．

理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连结OC，设AC交OB于点E． ∵ 点B在直线y＝2x上， ∴ B(5，10) ∵ 点A、C关于直线y＝2x对称，

∴ OB⊥AC，CE＝AE，BC⊥OC，OC＝OA＝5，BC＝BA＝10． 又∵ AB⊥x轴，由勾股定理得OB＝55．

11

∵ SRt△OAB＝AE²OB＝OA·AB，

22

∴ AE＝25， ∴ AC＝45．

∵ ∠OBA十∠CAB＝90°，∠CAD＋∠CAB＝90°， ∴ ∠CAD＝∠OBA． 又∵ ∠CDA＝∠OAB＝90°， ∴ △CDA∽△OAB． ∴

CDADAC

＝＝ ∴ CD＝4，AD＝8 ∴ C（－3，4） OAABOB

15

当x＝－3时，y＝³9－³(－3)＝4．

66

15

∴ 点C在抛物线y＝x2－x上．

66

（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切．

过点P作PF⊥x轴于点F，连结O1P，过点O1作O1H⊥x轴于点H． ∴ CD∥O1H∥BA． ∵ C(－3，4)，B(5，10)，

1

∴ O1是BC的中点． ∴ 由平行线分线段成比例定理得AH＝DH＝AD＝4，

2 ∴ OH＝OA－AH＝1．同理可得O1H＝7． ∴ 点O1的坐标为(1，7)． ∵ BC⊥OC， ∴ OC为⊙O1的切线．

又∵OP为⊙O1的切线， ∴ OC＝OP＝O1C＝O1P＝5．

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∴ 四边形OPO1C为正方形． ∴ ∠COP＝900． ∴ ∠POF＝∠OCD． 又∵∠PFD＝∠ODC＝90°， ∴ △POF≌△OCD．

∴ OF＝CD，PF＝OD． ∴ P(4，3)． 设直线O1P的解析式为y＝kx+B(k≠0)． 把O1(1，7)、P(4，3)分别代人y＝kx+B，

4k，kb7，3得 解得 4kb3．b25．3425

∴ 直线O1P的解析式为y＝－x＋．

33

若以PQ为直径的圆与⊙O1相切，则点Q为直线O1P与抛物线的交点，可设点42515

Q的坐标为(m，n)，则有n＝－m＋，n＝m2－M

3366

42515

∴ －m＋＝m2－M．整理得m2＋3m－50＝0，

3366－3±209解得m＝

2

－3＋209－3－209

∴ 点Q的横坐标为或．

22

第3题图

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