小学数学《速算与巧算》练习题(含答案)

 小学数学《速算与巧算》练习题（含答案） 知识点：一、等差数列. 二、定义新运算. 三、速算与巧算的方法. 等差数列 我们仔细观察以下两个数列： 可以发现它们有一个共同的特点，后一项减前一项的差都是一个定数，像上面这样一类数列，叫做等差数列，相邻两个数的差叫做公差，通常用字母d表示．如果有一个等差数列 其公差是d，那么数列的每一项依次可表示为： 例如：求15，25，35，45，55，65，75这一列数的和，利用公式计算就是：s(1575)7315 2利用此求和公式以及通项an=a1+(n一1)d的表达式，将给计算带来很大的方便． 【例1】 按规律填数. （1）21，25，29，（ 33 ），（ 37 ），41，45，49，（ 53 ） （2）3，9，27，（ 81 ），（ 243 ），729 【分析】（1）观察第一列数，这是一个等差数列，它的公差是4，所以括号里要添的数，都应该是前一个数加4. （2）观察第二列数，这是一个等比数列，它的公比是3，所以括号里面要添的数，都应该是前一个数乘3. 【例2】 在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______ 个数是1994． 【分析】每个数比前一个数大7，根据求通项an=a1+(n一1)d的公式得n=（an- a1）÷d＋1，列式得： (1994—6)÷7=284 284+1=285 即第285个数是1994． 【例3】 （1）计算4+6+8+10+……+34+36 【分析】这是一个等差数列，根据等差数列求和公式计算得：(4+36)×17÷2=340 （2）以质数71做分母的最简真分数有1236970,,......,,;求这列数的和 7171717171 【分析】方法一：将这列数的分子从左往右排起来是1，2，3，4…69，70．可以发现这是一个等差数列，首项是1，末项是70，项数是70．我们可以用等差数列求和公式“和=(首项+末项)×项数÷2”求出分子相加的和，再求出以质数71做分母的最简真分数的和． 12346970......7171717171711234.....6970  (170)7027135方法二：将这列数排列起来，可以发现： 1， 711第三项比第二项多， 711第四项比第三项多， 71第二项比第一项多………… 因此，可以直接使用等差数列求和公式求和． 12346970.....717171717171170 702717135 （3）计算：156789101135791113 13131313131313 【分析】带分数加法，我们先计算整数部分，再计算分数部分，认真观察我们发现整数部分和分数部分都可以利用等差数列求和公式进行计算. 15678910113579111313131313131313567891011(135791113)()13131313131313(511)72 (113)721344941345313 定义新运算 定义新运算是由一些新定义的运算符号而导出的一种运算.新定义的运算符号，如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的.解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算，下面通过几个实例加以说明. 【例4】 （第五届“华杯赛”复赛试题）羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号△表示： 羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼 以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了. 小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示 羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼 这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了. 对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右， 括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼. 求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼) 【分析】因为狼△狼=狼，所以 原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼 无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以 原式=狼 【例5】 （北京市第十届“迎春杯”试题）对于任意的整数x与y定义新运算“△”： x△y=6xy 则2△9=_______· x2y 【分析】根据定义x△y=6xy6298 于是有295 x2y22920 【巩固】 设a△b=a×a-2×b，那么，5△6=______，(5△2) △ 3=_____. 【分析】(1)5△6=5×5-2×6=13 (2)5△2=5×5-2×2=21 21△3=21×21-6=435 【例6】 规定 （1）求 的值；（2）已知 【分析】观察新定义的运算，可知 b.所以， （1） （2） 即： ，求 . 表示首项是a，末项是 的连续自然数之和，项数是其中a、b表示自然数. 速算与巧算的方法 1、利用凑整法计算. 凑整法就是根据题中数据特点、借助数的组合、分解以及有关运算性质，把其凑成整十整百……的数，从而达到计算简便、迅速的一种方法.使用凑整法一般有以下几种情形：一、分组凑数 .二、拆数凑整 . 三、分解凑整.四、借数凑整 .五、性质凑整. 凑整法常用到的定律和公式有： ① 加法交换律：a+b=b+a ② 加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c) ③ 乘法交换律：a×b=b×a ④ 乘法结合律：（a×b）×c=a×(b×c) ⑤ 乘法分配律：(a+b) ×c=a×c+b×c ⑥ 减法的性质：a-b-c=a-(b+c) ⑦ 商不变的性质：a÷b=(a×c)÷（b×c）；a÷b=(a÷c)÷（b÷c） ⑧ 除法的性质：a÷(b×c)=a÷b÷c (a+b) ÷c=a÷c+b÷c (a-b) ÷c=a÷c-b÷c ⑨和不变的规律：如果一个加数增加另一个加数减少同一个数，它们的和不变. ⑩积不变的规律：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变. 2、利用公式进行计算 我们在计算的过程中，发现很多算式的排列是有规律的，根据这些规律我们可以直接利用公式进行计算.一般我们常用的公式有： n(a1an)（n表示项数，a1表示首项，anan表示末项） 2nn1如：123n 2nn12n1222② 12n 6① 等差数列求和公式：sn③ abcabcabc1001abc71113 如：567567÷234234= ④ ababab 2256771113567112 23471113234262 1+2+3+n-1nn-1321n⑤ 即，12343214212345654321如：66666666 62122123432161111⑥ 1111×1111＝123…n…321 (n≤9)； n个1n个11 如：1111121 11111112321 1111111234565432 计算的形式和方法多种多样，更多的知识还需要大家活学活用，希望同学们在学习过程中要注意总结归纳，不断充实和巩固自己的知识. 2 【例7】 （04陈省身杯数学邀请赛）计算：3.1415×25-3.1415×15 22【分析】原式=3.1415×（25-15）=3.1415×（25+15）×（25-15）=3.1415×40×10=1256.6 应用下面的平方差公式 【例8】 计算：6.25×8.27×16+3.75×0.827×8 【分析】 原式=6.25×16×8.27+3.75×0.8×8.27 22 =8.27×（6.25×16+3.75×0.8） =8.27×（100+3） =8.27×100+8.27×3 =851.81 【拓展】 计算：0.125×0.25×0.5×64 【分析】原式=0.125×0.25×0.5×（8×4×2） =（0.125×8）×（0.25×4）×(0.5×2) =1 【例9】 求3333333×6666666乘积的各位数字之和. 【分析】 原式=9999999×2222222 =（10000000-1）×2222222 =11111110000000-2222222 =11111107777778 所以，各位数字之和为8×7=56 【例10】 1997×2005005－2005×19971997 【分析】原式＝1997×2005×10001－2005×1997×10001 ＝0 【例11】 （05我爱数学夏令营）计算：333×332332333 – 332 × 333333332 【分析】原式=333×（332332 332+1）-332×（333333333 -1） =333×（1001001×332+1）-332×（333×1001001-1） =333+332 =665 【巩固】（希望杯数学邀请赛培训题）计算2006×20052006-2005×20062005 【分析】发现后面周期性数字都多1，这样先转化成周期性数字. 原式=2006×（20052005+1）-2005×（20062006-1） =2006×20052005+2006-2005×20062006+2005 =4011 【例12】 （第七届华杯赛复赛试题）计算：19+199+1999+…+19999______. 1999个9 【分析】原式=20+200+2000+…+20L40019991 14231999个0=222019991 1999个2 =2220221 1996个2 【例13】 （北京市第六届“迎春杯”决赛试题） 1000+999-998-997+996+995-994-993+…+108+107-106-105+104+103-102-101= _____ 【分析】原式=(1000+999-998-997)+…+(104+103-102-101) =4×900÷4 =900． 【例14】 2002年“我爱数学”夏令营计算竞赛试题 22222222计算：1009998974321 【分析】这个题要利用平方差公式ababab进行计算比较简单. 221002992982972423222121002992982972423222121009998974321100110025050 10099100999897989743432121 【附1】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根? 【分析】将每层圆木根数写出来，依次是：可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算． 故最下面的一层有32根． 【附2】计算下列每组数的和： 【分析】根据等差数列求和公式，必须知道首项、末项和项数，这里首项是105，末项是200，但项数不知道．若利用an=a1+据此可先求出项数，再求数列的和． 解：数列的项数 故数列的和是： 【附3】规定：③=2×3×4，④=3×4×5 ⑤=4×5×6，…， ⑩=9×10×11，… 111 如果□，那么框内应填的数是_____· (7)(8)(8) 【分析】□=(11111(8)7891)()(8)11. (7)(8)(8)(7)(8)(7)67821 2故框内应填的数是 【附4】（04全国小学奥林匹克）计算：55 555 × 666 667 + 44 445 × 666 666 – 155 555 【分析】原式=55 555 × 666 666 + 55 555 +44 445 × 666 666 -155 555 =（55 555+44 445）× 666 666-100 000 = 66 666 500 000 【附5】求333333...33...3{的末三位数字. 2007个3 【分析】原式的末三位和每个数字的末三位有关系，有2007个3，2006个30，2005个300 ， 则2007×3+2006×30+2005×300=6021+60180+601500=667701 ，原式末三位数字为701 【附6】（走进美妙数学花园）若A=1921，B=1949，C=1976，D=2004， 求：（A+B+C-D）+（A+B+D-C）+（A+C+D-B）+（B+C+D-A）的值. 【分析】原式=（A+B+C+D）×2 = （1921+1949+1976+2004）×2 =15700 . 1. 找出下列各数列的规律，按其规律在( )内填上合适的数，并指出第六项. (1) 4 ，7 ，10 ，13 ，( )，… (2) 84 ，72 ，60 ，（ ），36 ，… (3) 2，4，8，( )，( )，… (4) 128 ，64 ，32 ，16 ，（ ），… (5) 1，4，9，16，( )，… (6) 2，6，12，20，( )，( )，… 【分析】通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现 (1)的规律是：前项+3=后项.所以4 ，7 ，10 ，13 ，( 16 )，19 ，… ，第六项是19 ； (2)的规律是：前项-12=后项.所以84 ，72 ，60 ，（ 48 ），36 ，24 ，… ，第六项是24 ； (3)的规律是：前项×2=后项.所以2，4，8，( 16 )，( 32 )，64 ，… ，第六项是64 ； (4)的规律是：前项÷2=后项.所以128 ，64 ，32 ，16 ，（ 8 ），4 ，… ，第六项是4 ； (5)的规律是：数列各项依次为 1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 所以1，4，9，16，( 25 )，36 ，… ，第六项是36 ； (6)的规律是：数列各项依次为 2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5， 所以2，6，12，20，( 30 )，( 42 )，… ，第六项是42 . 2. 小刚进行加法珠算练习，用1+2+3+4+…，当加到某个数时，和是1000．在验算时发现重复加了一个数，这个数是___ _. 【分析】1+2+3+…+43+44=(144)44=990 2 于是，重复计算的数是 1000-990=10． 3. P、Q表示数，P*Q表示【分析】3*(6*8)=3*( PQ，求3*(6*8) 26837)3*75 22 4. 计算：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7 【分析】原式=76.3×（3.42+5.76）+9.18×23.7=76.3×9.18+9.18×23.7=918 5. 计算：2004×20032002-2002×20032004 【分析】原式=（2002+2）×20032002-2002×（20032002+2）=2×（20032002-2002）=40 060 000 . 6. 计算99999×22222＋33333×33334 【分析】原式=33333+66666+33333+33334 =33333×（66666+33334） =3333300000 7. 计算 1231990______ 19901990199019901231990 1990(11990)19902 = 19901 =995 2 【分析】原式=