工程数学作业2答案

第3章 线性方程组

（一）单项选择题(每小题2分，共16分)

x12x24x31x1为（C ）．

⒈用消元法得x2x30的解x2x32x3 A. [1,0,2] B. [7,2,2] C. [11,2,2] D. [11,2,2]

x12x23x32 ⒉线性方程组x1x36（B ）．

3x3x423 A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解

10013 ⒊向量组0,1,0,2,0的秩为（ A）． 00114 A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

10111001 ⒋设向量组为1,2,3,4，则（B ）是极大无关组．

01110101 A. 1,2 B. 1,2,3 C. 1,2,4 D. 1

⒌A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）． A. 秩(A)秩(A) B. 秩(A)秩(A) C. 秩(A)秩(A) D. 秩(A)秩(A)1

⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．

A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解

D. 齐次线性方程组一定有解

⒏若向量组1,2,,s线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．

A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量

9．设A，Ｂ为n阶矩阵，既是Ａ又是Ｂ的特征值，x既是Ａ又是Ｂ的属于的特征向量，则结论（ ）成立．

Ａ．是AB的特征值 Ｂ．是A+B的特征值

Ｃ．是A－B的特征值 Ｄ．x是A+B的属于的特征向量

10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．ABBA Ｂ．(AB)AB Ｃ．PAP1B Ｄ．PAPB （二）填空题(每小题2分，共16分) ⒈当 １ 时，齐次线性方程组x1x20有非零解．

x1x20 ⒉向量组10,0,0,21,1,1线性 相关 ．

⒊向量组1,2,3,1,2,0,1,0,0,0,0,0的秩是 ３ ．

⒋设齐次线性方程组1x12x23x30的系数行列式1230，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量1,2,3是线性 相关 的． ⒌向量组11,0,20,1,30,0的极大线性无关组是1,2． ⒍向量组1,2,,s的秩与矩阵1,2,,s的秩 相同 ．

⒎设线性方程组AX0中有5个未知量，且秩(A)3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个．

⒏设线性方程组AXb有解，X0是它的一个特解，且AX0的基础解系为X1,X2，则AXb的通解为X0k1X1k2X2．

9．若是Ａ的特征值，则是方程IA0 的根． 10．若矩阵Ａ满足A1A ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．用消元法解线性方程组

x13x22x3x43x8xx5x12342x1x24x3x4x14x2x33x4解：

60122

132163rr1312381012r1r350rr14A21411205141320110192348103r4r310178181r01r433200331200005613001004212442rr1011010154615r44r201r4rr431100110040001300２．设有线性方程组

2178319715001063rr101923210175r2r38188rr140027391048001012234819rr10042317r3r28185r3r4010150011146130001102x1201 方程组解为x21

01x3113x43481890261244643311x111y 211z 为何值时，方程组有唯一解或有无穷多解

112rr1111112r1r3r1r3A11110112111011211解：

1122r3r011(1)00(2)(1)(1)(1)2 当1且2时，R(A)R(A)3，方程组有唯一解

当1时，R(A)R(A)1，方程组有无穷多解

３．判断向量能否由向量组1,2,3线性表出，若能，写出一种表出方式．其中

2213］

82353756,1,2,3 710310321 解：向量能否由向量组1,2,3线性表出，当且仅当方程组1x12x23x3有解

2358175630这里 A1,2,3,10037321100R(A)R(A)

 方程组无解

 不能由向量1,2,3线性表出

４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关

71341 01011700571031311173912,28,30,46

3933413363111117390解：1,2,3,42080639330413360该向量组线性相关

５．求齐次线性方程组

31100010001218 00x13x2x32x405xx2x3x01234 x11x2x5x012344x403x15x2的一个基础解系． 解：

13125rr131125123r1r301433r1r4A1112501433504014311r214r3r4000010051431400112113r3023000010051431400523r2r1101414r2r37r2r4014370001000011rr12213112r3r2021000010051431400127 0300 10x51x351414 方程组的一般解为x33214x3 令x31，得基础解系 14 x4001 ６．求下列线性方程组的全部解．

x15x22x33x4113x1x24x32x45

x19x24x4175x13x26x3x41解：

1523113rr1523115r9A31425r121r301427282r1141072rr2r32r401421904175r1r472800053611014202841456000109711x7x1114r2011122 方程组一般解为1932x41000720011

x2xx2000007324令x3k1，x4k2，这里k1，k2为任意常数，得方程组通解

71x1k1k21271x19219211x7k12k2122k17k22 3xk10014k2010７．试证：任一４维向量a,a12,a3,a4都可由向量组

11110，11112，3，4001

00101线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．

10000100证明：1 21 32 43001

000011127280000任一４维向量可唯一表示为

a11000a01002a1a2a3a4a11a2(21)a3(32)a4(43)a300100001a4 (a1a2)1(a2a3)2(a3a4)3a44

⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只

有零解．

证明：设AXB为含n个未知量的线性方程组 该方程组有解，即R(A)R(A)n

从而AXB有唯一解当且仅当R(A)n

而相应齐次线性方程组AX0只有零解的充分必要条件是R(A)n

 AXB有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX0只有零解

9．设是可逆矩阵Ａ的特征值，且0，试证：证明：是可逆矩阵Ａ的特征值

 存在向量，使A

1是矩阵A1的特征值． I(A1A)A1(A)A1()A1

1A1 

即

1是矩阵A1的特征值 2222x2x3x42x1x22x2x42x2x32x3x4化为标准10．用配方法将二次型fx1型．

解：

2222f(x1x2)2x3x42x2x42x2x32x3x4(x1x2)2x32x3(x2x4)x42x2x4 2(x1x2)2(x3x2x4)2x2

 令y1x1x2，y2x3x2x4，y3x2，x4y4

x1y1y3x2y3即 x3y2y3y4x4y4222y2y3则将二次型化为标准型 fy1