微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解

习题9—1

1． 判定下列级数的收敛性:

1(1） 5n(a＞0）； (2)

an1(n1n1n);

1(3) ; (4）

n1n32(1)n； n2n1n(5) ln； (6）

n1n1(1)n1n2；

n1（7) ; （8）

n1n解：(1）该级数为等比级数，公比为即0a1时,级数发散. （2）

(1)nn． n02n1111，且a0,故当||1，即a1时，级数收敛，当||1aaaSn(21)(32)n11

(n1n)

n limSn



(n1n1n)发散。

111(3)是调和级数去掉前3项得到的级数，而调和级数发散,故原级数

n1nn1nn1n31发散. n3n1(4)

2(1)n1(1)nn1n n22n1n12(1)m11而n1，是公比分别为的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性n222n1n11(1)n质知n1收敛，即原级数收敛. n2n12 1

（5）

lnnlnnln(n1) n1[lnnln(n1)]

于是Sn(ln1ln2)(ln2ln3) ln1ln(n1)ln(n1) 故limSn,所以级数

nlnn1发散。

n1n （6)

S2n0,S2n12



limSn不存在，从而级数(1)n2发散。

nn1（7）

limUnlimnn110

nn  级数

n1发散. nn1(1)nn(1)nn1（8) Un, lim

n2n12n12(1)nn  limUn0，故级数发散.

xn12n12． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和:

11 ※

(1） nn； （2)

3n12π（3） nsin; （4)

2nn11; n(n1)(n2)n1cosn0nπ． 211111解:(1）n, n都收敛，且其和分别为1和，则nn收敛，且其和

32n12n13n12为1+

13=. 22（2）

11121

n(n1)(n2)2nn1n21121 2nn1n2 Sn12111211121122322342345 2

1111 22n1n2limSnn11故级数收敛,且其和为。 44πππππ2(3)Unnsin，而limUnlim发散。 0，故级数nsinnn2π2n2n2n12nnπ(4）Uncos,而limU4klimcos2kπ1，limU4k2limcos(2k1)π1

kkkk2sin故limUn不存在，所以级数

ncosn0nπ发散. 23． 设

※

Un1nn （Un＞0)加括号后收敛，证明

Un1n亦收敛．

证:设

Un1(Un0)加括号后级数An收敛,其和为S.考虑原级数Un的部分和

n1n1SnUk，并注意到Uk0(k1,2,)，故存在n0，使

k1SnUkAts

k1t1n0又显然SnSn1对一切n成立,于是，{Sn}是单调递增且有上界的数列,因此，极限limSn存

n在，即原级数

Un1n亦收敛.

习题9-2

1． 判定下列正项级数的收敛性：

1（1） ; (2)

(n1)(n2)n1n1n； n11n(n5)12n2(3） ； (4）

n1n(n2)1(5）  (a＞0）； (6） nn11an1；

abn1n （a， b＞0);

3

(7)

n1nana (a＞0)； （8)

222nn1n1； 413n ※

(9) ； (10) nn1n2nn; n!n1357(2n1)(11） ; （12）

4710(3n1)n1n; n3n1n(n!)2 ※

(13) n2； (14）

n12n； 2n1n1nπ3（15)

2n1nsinπ3nncos2； (16） 2nn1．

11112而2收敛，由比较判别法知级数解：（1）因为收

(n1)(n2)nn1(n1)(n2)n1n敛。

（2）因为limUnlimnnn10,故原级数发散。 n11n2n1 （3）因为，而发散，由比较判别法知，级数

n(n1)n(n1)n1n1n1n2发散。 n(n1)n1(4）因为1n(n5)21nn21n32,而

n11n(n25)是收敛的p级数(p31),2由比较判别法知,级数

n11n(n5)2收敛.

1nna1（5)因为lim1alimlim(1) nnn1ann11anaa111 a1

200a1 4

而当a1时，11n1an收敛，故收敛; n11an 当a1时，111an=

n1发散，故n1n11an发散; 当0a1时lim1n1an10,故lim1发散； n1an综上所述，当0a1时，级数lim1an发散，当时，1收敛。n1a1lim n1an1 （6)因为limabnn1limbnnabnlim(1anabn)

bn1b111b1 a00b1而当b1时， 1,故1n1bn收敛n1abn收敛；  当b1时，111n1bn1发散,故而由a0, 0n1a1,故b也发散；n1an 当0b1时，lim1nabn1a0故1发散; n1abn综上所述知，当0b1时,级数1b发散;当b〉1时，级数1收敛. n1ann1abn (7）因为limn2an2an1lim2annnn2an2a lim2ana0

1an21an2而1发散，故级数(n2an2a)(a0)发散。 n1nn1 5

n14n4n312n1 （8)因为limlim4

nn2n112n31n1而3收敛，故级数2收敛。

2n1nn1n1Un13n1n2n3n3（9）因为limlimlim1由达朗贝尔比值判别nnUn(n1)2n1n32(n1)2n3n法知,级数发散。 nn2n1Un1(n1)n1n!1(10）因为limlimnlim(1)ne1，由达朗贝尔比值判别法

nUn(n1)!nnnnnn知，级数发散.

n1n! （11）因为limUn1357(2n1)(2n3)4710(3n1)lim

nUn4710(3n1)(3n4)357(2n1)n lim2n321,

n3n43由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛。

Un1n13nn11（12)因为limlimn1lim1,由达朗贝尔比值判别法知，级

nUn3n3nn3n数

n收敛。 nn13Un1[(n1)!]22n(n1)2(13)因为limlim(n1)2lim2n1 2nUnn2(n!)2n(x1)22(x1)x1lim2x1由lim2x1lim2x1

x2x22ln2x2ln21Un1(n1)20知lim lim2x1lim2n101

x2nUn22(ln2)2n由达朗贝尔比值判别法知，级数

2n1(n!)22n2收敛。

6

n1n(14)因为limnUnlim收敛. 1，由柯西根值判别法知级数nn2n12n12n1nππsinnn33（15）因为limlim1

nnπ2nπ3n3n2nsin2nπ2n2而n是收敛的等比级数，它的每项乘以常数后新得级数n仍收敛，

n13n13n13n由比较判别法的极限形式知，级数

2nsinn1π收敛。 3nncos2 (16）因为

nπn3n而与（12)题类似地可证级数收敛，由比较判别法知级n22n2nn1数

n1ncos2nnπ3收敛.

2． 试在(0，+∞)内讨论x在什么区间取值时，下列级数收敛：

xn（1） ; (2)

nn13xn． 2n1nUn1xn1nnx解：（1）因为limlimnlimx

nUnn1xnn1n由达朗贝尔比值判别法知,当x1时，原级数发散;

当0x1时，原级数收敛； 而当x1时，原级数变为调

1,它是发散的. nn1xn综上所述，当0x1时，级数收敛。

nn1 （2）因为limUn1nUnx(n1)32limnnxn32n1xx，由达朗贝尔比值判别法知,当1即

22x2时,原级数发散；

x当01即0x2时,原级收敛.

2

7

x333而当1即 x2时，原级数变为n，而由limn知n发散,综上所述，

n2n1n13xnn()收敛. 2n1当0x2时,级数

习题9-3

1． 判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛:

1（1) (1)； （2）

2n1n1n(1)n2； n1n2n1(1)sinnx(3) ; （４) 2nn111（5） n2n1; (6）

10n12sin(2nx)（7） ．

n!n1(1)n1n11πsin； πnn(1)n； n1nx解:（1）这是一个交错级数Un11, limUnlim0,

n2n12n1n111. UnUn1 由莱布尼茨判别法知(1)n2n12n12n1n1111111n2n1又(1),由lim发散，，及发散，知级数n12n1n12n12n1n1nn12n1n所以级数

(1)nn11条件收敛。 2n1(1)2211（2）因为，故

(1)n12n2n(1)n12n1(1)n21111 n1nnn1n1nn1n1(1)22(1)22(1)2 113 2n2n12n13(1)n2而n收敛,故n亦收敛，由比较判别法知收敛，所以级数n1n2n12n12n1(1) 8

(1)n2绝对收敛. n1n(1)2n1sinnx11sinnx,（3）因为而级数收敛，由比较判别法知收敛,因此，级22n2n2nnn1n1数

sinnx绝对收敛。 2nn1|(1)n1（4）因为limn1ππsin|sinπnnlimn1

n1πn2n1πn11sin|收敛,从而级数而2收敛,由比较判别法的极限形式知,级数|(1)πnnn1n1n(1)n11πsin绝对收敛。 πnn1111111 (5)因为n2n1n,而级数收敛的等比级数n2102102n12n102n12n11111(q);由比值判别法，易知级数2n1收敛,因而n2n1收敛，由比较判别

102n110n121111收敛，所以原级数绝对收敛. n2n12n102n1210n1法知级数

n1 （6）当x为负整数时，级数显然无意义；当x不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因收敛。

1发散,故原级数当x不为负整数时仅为条件n1xnsin(2nx)1 （7）因为

n!n!由比值判别法知

n!收敛（

n111sin(2nx)(n1)!lim0），从而由比较判别法知收n1n!n1n!sin(2nx)敛，所以级数，绝对收敛.

n!n12． 讨论级数

(1)n1n11的收敛性(p＞0)． pn9

解：当p1时,由于

(1)n1n111n11(1)收敛，故级数绝对收敛. pppnnn1nn1当0p1时,由于un11un1, limun0，由莱布尼茨判别法知交错级数

nnp(n1)p(1)n1n111n11(1)收敛，然而，当时，发散，故此时,级数0p1ppnpnnn1n1(1)n1n11条件收敛。 pn 综上所述，当0p1时，原级数条件收敛;当p>1时,原级数绝对收敛.

※

3． 设级数

an12n及

bn12n都收敛，证明级数

abn1nn及

an1nbn也都收敛．

2|an|2|bn|21212anbn 证：因为0|anbn|22212121212 而由已知a及bn都收敛，故an,bn收敛，从而anbn收

2n1n12n12n12n1n2敛，由正项级数的比较判别法知

abn12nn也收敛，从而级数

abn1nn绝对收敛。又由

(anbn)an2anbnbn,及an,bn，以及anbn收敛，利用数项级数的基本

2222n1n1n1性质知,

(an12n2anbnbn)收剑,亦即(anbn)2收敛。

2n1习题9-4

1． 指出下列幂级数的收敛区间:

xn(1)  (0!=1)； （2)

n0n!nn0n!nxn；

xn(3) n2; （4)

n02nx2n1(1)． 2n1n0n(x2)n（5） n； （6）

n02n2n(x1)n． n0n 10

解：（1）因为plimnan1an11(n1)!limlim0,所以收敛半径r，幂级数nnn11n!xn的收敛区间为(,). n!n1an11-1re. lim1e（2)因为plimn1lim，所以收敛半径nann1npn1nnnun!nn!ne1n当x=e时，级数nxne，此时n1，因为(1)是单调递增

1nunn0nn1n(1)nn数列,且(1)〈e所以

1nnun1〉1,从而limun0,于是级数当x=e时,原级数发散。

nunn!nxnnn0 类似地，可证当x=—e时，原级数也发散(可证lim|un|0),综上所述，级数

n的收敛区间为（—e，e）.

（3）因为plimnan11n21lim(),所以收敛半径为r=2。 nan2n12xn1当x2时，级数n22是收敛的p一级数（p=2>1）；

2nnn1n0xn1n当x=-2时，级数n2(1)2是交错级数,它满足莱布尼茨判别法的条件,

nn02nn1故它收敛。

xn综上所述，级数n2的收敛区间为[—2,2］.

n02n（4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径,改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.

ux2n12n12xx2. 令un(1),则limn1limn2n32n1nunn当x1时,即|x|1时，原级数绝对收敛.

2x2n1当x1时，即|x|1时，级数|un|发散，从而(1)发散，当x1时，

2n1n0n02n 11

11n1级数变为(1);当x1时,级数变为(1);它们都是交错级数，且满

2n12n1n0n0n足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛.

x2n1综上所述,级数(1)的收敛区间为［-1，1］。

2n1n0n(5）此级数为(x+2)的幂级数。 因为plimnan1n1lim。 n2(n1)an212，即|x2|2时，也即4x0时级数绝对收敛。当p所以收敛半径r|x2|2即x4或x0时，原级数发散.

当x4时，级数变为

(1)nn01是收敛的交错级数， n当x=0时，级数变为调和级数

1,它是发散的. nn1综上所述，原级数的收敛区间为[-4，0）.

(6）此级数(x-1）的幂级数

plimnan12nlim2 nn1an1。 2113于是当|x1|即x时，原级数绝对收敛。

222113 当|x1|即x或x时，原级数发散。

222故收敛半径r13 当x时，原级数变为是调和级数，发散。

2n0n1n1 当x时，原级数变为(1)，是收敛的交错级数.

n2n1综上所述，原级数的收敛区间为,2． 求下列幂级数的和函数：

13. 22 12

(1)nxn(1) ; (2)

nx2n1；

n1n2n1(3) 1xn； (4) 1)xn．

n1n(n1)(2nn0解：(1)可求得所给幂级数的收敛半径r=1.

nxn设S(x)(1),则

n1n S(x)n(1)nxnn11n1n(1)x n11xS(x)x0S(x)dxx101xdxln(1x) (|x|1) 又当x=1时，原级数收敛，且S(x)在x=1处连续。

 (1)nxn ln(1x) (1x1) n1n（2）所给级数的收敛半经r=1，设S(x)2nx2n1，当|x|1时，有n1xx2n10S(x)dx02nxdxn1x2nx2n1dx

n10 x2nx2n11x2 于是s(x)x22x1x2(1x2)2 又当x1时，原级数发散.

故

2nx2n12xn(1x2)2 (|x|1) 1(3）可求所给级数的收敛半径为1。

xn1xn1 令s(x)n1n(n1)xn1n(n1)(x0)  令g(x)xn1,则g(x)n11n1n(n1)x

n11x

13

xx0g(x)dxg(x)g(0)1dx 01xx g(0)0,g(x)ln(1x)

0g(x)dxg(x)g(0)ln(1x)dx,g(0)0

0x所以g(x)x0ln(1x)dxxln(1x)xln(1x)；

所以S(x)111ln(1x),|x|1,且x0. x11n当x1时,级数为和(1),它们都收敛。且显然有S(0)0。

n(n1)n(n1)n1n1111ln(1x)x(1,0)(0,1)故S(x)x. 0x0,x1（4）可求得所给级数的收敛半径为r=1且x1时,级数发散，设S(x)nxn0n1,则

x0s(x)dxxnn01. 1x111n1nx)于是S(x)(，即. 2(1x)1x(1x)2n1所以

(2n1)xn1n2xnxn0n1xn

n1 2x3． 求下列级数的和：

111x (|x|1)

(1x)21x(1x)2n2(1) n； （2）

n15(2n1)2n11n;

2n1（3） 2n1； （4)

n12解（:1)考察幂级数

n(n1)． n2n1nx2n1n2n，可求得其收敛半径r1 ，且当x1时，级数的通项unnx，

14

lim|un|limn，因而limun0，故当x1时，级数n2xn发散，故幂级数

2nnnn1n2xn的收敛区间为(—1，1）。

n1设S(x)n2xn (|x|1)，则S(x)xn1n2xn1

n1令S2n11(x)nx，则

n1x0S1(x)dxnxnxnxn1.

n1n11,则

x再令S2(x)nxnn10S2(x)dxxnxn11x. 故Sx1xx2(x)1x(1x)2(|x|1)，从而有0S1(x)dx(1x)2. Sx1x1(x)(1x)2(1x)3 (|x|1) 于是 S(x)xSxx21(x)(1x)3 (|x|1) 111n2(12取x5)5,则S()5515. n15n313215（2）考察幂级数

1x2n,可求得收敛半径r=1，设 n12n1S(x)1x2nx112n1x2n1 (|x|1)nn12n1令S)12n1，则S2n211(xx1(x)n12n1xn11x2. xxdx0S1(x)dx01-x212ln1x1x 即 S11(x)S1(0)2ln1x1x (s,(0)0). 于是 S11x1(x)2ln1x,(|x|<1)，从而

15

x1xS(x)xS1(x)ln (|x|1)

21x11x12,则S(12)112nln n1(2n1)222112 12ln(12) （3）考察幂级数

(2n1)x2n1，可求得其级数半经为r=1,因为n1(2n1)x2n12n11

n12nxn1x2nn1 令S1(x)2nx2n1，则

n1x2n0S1(x)dxxx2n1x2。 1x2所以S2x1(x)1x2(1x2)2 (|x|1)，于是 

(2n1)x2n1nx2n11

n12n1x2nn1 2x(1x2)2x1x2xx3(1x2)2 (|x|1) 取x12，得 113S122n12(2)102n1n121。

21(2)9 （4)考察幂级数

n(n1)xn,可求得其收敛半径r=1.

n1 设S(x)n(n1)xn (|x|1)

n1xn1 则

0S(x)dxnxx2n1nxn1.

n1取

16

xx又设S1n1(x)nxn则

n10S1(x)dxx1x. n1x从而S11(x)1x(1x)2, xS(x)dxx2Sx201(x)(1x)2

(x)x2S2x(1x)2(1x)3 |x|1 取x12，则 21S1n(n21)238 n12n112习题9-5

1． 将下列函数展开成x的幂级数: (1) cos2x2; （2） sinx2； (3) xex2; (4） 11x2； (5)cos(xπ4)．解：（1）cosx1cosx112n22222(1)nx n0(2n)! 1(1)nx2n (-xn12(2n)!) 2n1 （2）sinx 2(1)n1x (x)

n0(2n1)!2 （3）xex2x1(x2)n(1)n1x2n1 (x)

n0n!n0n! （4）

1111x221x11x 17

1n1x(1)nxn2n02n01nnn [x(1)x]2n0x2n |x|1n0

（5）cosxπππcosxcossinxsin 4442(cosxsinx)2 2n2n12xx(1)n (x)2n0(2n)!(2n1)!2． 将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：

1π,在x0＝１； (2） cosx,在x0=; 3x311（3) 2，在x0=1； （4） 2， 在x0＝３．

x4x3x111解:(1）因为,而 3x21x12(1）

1x1x1 (||1即1x3）. x1n02212n11x1(x1)n所以n1 (1x3).

3x2n02n02n收敛区间为：（—1，3）。 （2）cosxcosππ2π2π(x)coscos(x)sinsin(x)

333333(x)2n(x)2n11n33(1)n3 (1) 2n0(2n)!2n0(2n1)!112n32n1n(x)[x) (x) (1)2n0(2n)!3(2n1)!3收敛区间为(,).

18

（3）

1x24x312(11x13x)14111x1 1x18214nn14(1)nx11nx1n028(1)n04

(1)nn0112n222n3(x1)n

由

x121且x141得1x3，故收敛区间为（—1，3） （4)因为1111xx31x33(1)n(3)n n033 (1)n(x3)n n03n1 而11nn(xxx(1)3)2n03n1  (1)nn1n13n1n(x3)

 (1)n1n(x3)n1 n13n1(1)n(n1)(x3)n n03n2由

x331得0x6. 故收敛区间为（0，6）。

19