等差数列与等比数列的类比关系

等比数列和等差数列是两类特殊的数列，他们的关系甚密，从定义上看等比数列和等差数列的定义仅有一字之差，把“差”变成了“商”。在等差数列中anan1d，关键是“差”，在等比数列中关键是“商”。而在等差数列的通项公式中ana1(n1)da1ddn1anq，an1d，同学们可以用类比的

a2a1q教材中等差数列通项公式的推导

a3a2qa1q2a4a3qa1q3，来推得等比数列的通项公式ana1qn1a1qqn1 q。

从以上两个公式可以看出等差数列中差与和对应，属于同级运算；在等比数列中商与积对应，也是同

一级的运算。而且我们把等差数列和等比数列对比可以得到，由等差数列定义到等比数列定义差变成商，由等差数列的通项公式到等比数列的通项公式和变成积（积变成幂）。我们可以把等比数列看作是等差数列的升级，所以我们用类比等差数列的方法研究等比数列。

例1．已知数列an为等差数列，且ama,akb(mk)，则amkbkam；若数列bn为等比

km数列，且bma,bkb(mk)，（1）类比等差数列的结果，你认为bmk可能是什么值？

（2）证明你的推测是否正确。

分析：根据等比数列是等差数列的升级，以及由等差数列定义到等比数列定义差变成商，由等差数列的通项公式到等比数列的通项公式和变成积（积变成幂）等差和等比的性质来猜想。

解：（1）由amkbbkambkam，可以猜想bmkm kmkmkmakmkkmm1k1（2）由题bmaa1q,bkba1q，qba1km，bmkbmqmkmbaakkmbakkmmkm

点评：本题考察学生的类比迁移能力，在考试中经常以这种题型来考察，这也是高中学生应具备的基本能力。

例2．在等差数列an中，若a150，则有等式a1a2ana1a2a29n(n29,nN)成立，类比上述性质，相应的在等比数列bn中，若b191，则有等式__________________________成立。 分析：由题，在等差数列中，如果am0，有a1a2ana1a2a2m1n(n2m1,nN)

成立，我们知道，若m,n,p,qN且mnpq，对于等差数列有等式amanapaq。上式就是

由此证出。对于等比数列有等式amanapaq，所以可以得到结论：若bm1，则有

b1b2bnb1b2b2m1n(n2m1,nN)成立，所以在本题中的m19，即得

b1b2bnb1b2b37n(n37,nN)

b37n(n37,nN)

答案：b1b2bnb1b2点评：在进行类比拓展时可以抓住某些性质进行类比，如由等差数列定义到等比数列定义差变成商，由等差数列的通项公式到等比数列的通项公式和变成积（积变成幂），也可以抓住思维方法进行类比迁移，如本例的等差数列的性质，等差数列有等式amanapaq，所以在等比中就可以用类似的性质，等比数列有等式amanapaq来推导。

小训练：1．等差数列有如下性质：若数列an为等差数列，则当bna1a2nan时，数列bn也

是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列cn是正项等比数列，当dn____________时，数列dn也是等比数列。

2．已知等差数列an的前n项和为Snna1式Tn______________.

3．数列{an}是正项等差数列，若bnn(n1)d，用类比的方法，写出等比数列前n项积的表达2a12a23a3nan，则数列{bn}也为等差数列. 类比上述结论，

123n写出正项等比数列{cn}，若dn= ，则数列{dn}也为等比数列. 答案：1．dnnc1c2

cn 2．Tnbqn1n(n1)2 3. (c1ccc)22331n123nn