2008年珠海市高三第二次质量检测题

(1).已知复数z13i，z21i，则复数

z1z2在复平面内对应的点位于（ ）

(A). 第一象限 (B). 第二象限 (C). 第三象限 (D). 第四象限

(2).对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m与l （ ）

(A). 平行 (B). 相交 (C). 垂直 (D). 互为异面直线 (3). 已知p:A{x|log2(|x|3)0},q:B{x|(x2)(3x)0}，则p是q的（ ）条件 (A). 充分而不必要 (B). 必要而不充分 (C). 充分必要 (D). 既不充分也不必要

(4).已知奇函数f(x)在[3，7]上是增函数，在[3，6]上的最大值为8，最小值为—1，

则2f(6)f(3)=（ ）

(A). —15 (B). —13 (C). —5 (D). 5

(5).已右图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（ ）

(A).求a，b，c三数中的最大数 (B).求a，b，c三数中的最小数 (C).将a，b，c按从小到大排列 (D).将a，b，c按从大到小排列

(6).某学校共在2008名学生，将从中选项派5名学生在某天去国家大剧

院参加音乐晚会，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从2008名

学生中剔除8名学生，再从2000名学生中随机抽取5名，则其中学生 甲被选取的概率是（ ） (A).

(7).在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线yf(x)（实线表示），另一种是平均价格曲线yg(x)（虚线表示）（如f(2)3是指开始买卖后第二个小时的即时价格为3元；g(2)3 表示二个小时内的平均价格为3元），下图给出的四个图象中，其中可能正确的是（ ）

(A). (B). (C). (D).

1400 (B).

12008 (C).

12000 (D).

52008

(8).在数列{an}中，如果对任意nN*都有

an2an1an1ank（k为常数），则称{an}为等差比数列，k称为公差比. 现给

出下列命题： ⑴等差比数列的公差比一定不为0； ⑵等差数列一定是等差比数列； ⑶若an

⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的个数为（ ） (A). 1 (B). 2 (C). 3 (D). 4

(9).已知向量a(cos15,sin15)，b(sin15,cos15)，则ab的值为 .

32n,则数列{an}是等差比数列；

C(10). 若27

3n1C27(nN),(xn6*23x)n的展开式中的常数项是 （用数字作答）.

x1y1(11).已知M,N是所围成的区域内的不同两点，则|MN|的最大值是 . ．．

xy10xy6

(12).边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于 ；

将这个结论推广到空间是：棱长为a的正四面体内任一点到各面距离之和等于 .

(13).(坐标系与参数方程选做题）极坐标方程sin(3)4化为直角坐标系方程是 , 记其所对应的线为

x3cos(为参数)上任意一点，则点M到C1的距离的最小值是 . C1，点M是曲线C2:y2sin

(14).(不等式选讲选做题）已知函数f(x)34x4x3， 则函数f(x)的最小值为 , 最大值为 .

(15).(几何证明选讲选做题）已知平面截圆柱体,截口是一条封闭曲线,且截面与底面所成的角

为30°,此曲线是 ,它的离心率为 .

(16).(本小题满分12分）已知在VABC中，A﹑B﹑C所对的边分别为a﹑b﹑c，若(Ⅰ)求角A、B、C的大小；

(Ⅱ)设函数fxsin2xAcos2xC，求函数fx2cosAcosBba且sinCcosA

的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 ．．

(17)如图已知P、O分别是正四棱柱ABCDA1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中点，(Ⅰ)求证：A1E∥平面PBC；

(Ⅱ)当k2时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

ABkAA1.

(Ⅲ)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心?

A EA1 D1 P B1 C1

D O B

C

(18).(本小题满分14分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件,这种零件有A、B两项技术指标需要检测，按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.已知各项技术指标达标与否互不影响，但A项技术指标达标的概率大于B项技术指标达标的概率.若有且仅有一项技术指标达标的概率为(Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？

(Ⅱ)任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？ (Ⅲ)任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求E与D.

5121112，至少有一项技术指标达标的概率为．

(19).(本小题满分14分）已知在数列an中，已知a11，且an12an3(nN*). (Ⅰ)求证：数列an1an是等比数列； (Ⅱ)求数列an的通项公式；

(Ⅲ)设cnan2n(nN*),求和：Snc1c2c3cn(nN*).

(20).(本小题满分14分）已知函数

f(x)xaa1x（a0且a1）．

(Ⅰ)试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间； ．．

(Ⅱ)已知当x0时，函数在(0,6)上单调递减，在(6,)上单调递增，求a的值并写出函数F(x)(Ⅲ)记(Ⅱ)中的函数F(x) 3f(x)的解析式；

3f(x)的图像为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存

在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

(21).(本小题满分14分）已知在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F(x,y)0中，以(x,y)(为正实数）代替(x,y)得到曲线C2的方程F(x,y)0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换(x,y)(x,y)称为“伸缩变换”，称为伸缩比． (Ⅰ)已知曲线C1的方程为

2x29y241，伸缩比2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的标准方程；

22xy(Ⅱ)射线l的方程y如果椭圆C1：“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C21经x(x0)，

1642分别交于两点A、B，且AB2，求椭圆C2的标准方程；

(Ⅲ)对抛物线C1：y22p1x，作变换(x,y)(1x,1y)，得抛物线C2：y22p2x；对C2作变换(x,y)(2x,2y)得抛物线C3：y(x,y)(nx,ny),得抛物线Cn1：y222p3x，如此进行下去，对抛物线Cn：y1n22pnx作变换

2pn1x，．若p11,n()，求数列 pn的通项公式pn．

2

珠海2参考答案

一．选择题：每小题5分，满分40分．

题 号 答 案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 B 6 D 7 C 8 B 二．填空题：每小题5分，满分30分．（其中13~15题只能选做二题）

(9)1 (10) -80 (11)17 (12) 823132a,

1263a(各2分)

(13)3xy80， (14)3，5 (15)椭圆,

三．解答题：本大题共6小题,满分80分.

(16).【解】(Ⅰ)由题设及正弦定理知:

cosAcosBsinBsinA,得sin2Asin2B

2∴2A2B或2A2B ,即AB或AB当AB时,有sin(2A)cosA, 即sinA当AB∴AB212

6,得AB,C23;

时,有sin(,C232)cosA,即cosA1 不符题设

6 „„„„„„„7分 6)cos(2x(Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知:f(x)sin(2x当2x6[2k3)2sin(2x6)

2,2k2](kZ)时, f(x)2sin(2x6)为增函数

即f(x)2sin(2x6)的单调递增区间为[k3,k6](kZ). „„„11分

它的相邻两对称轴间的距离为

2. „„„12分

(17).【解】法一：（Ⅰ）过P作MN∥B1C1，分别交A1B1、D1C1于M、N，则M、N分别为 A1B1、D1C1的中点，连MB、NC，则四边形BCNM是平行四边形 „„„„„ 2分 ∵E、M分别为AB、A1B1中点，∴A1E∥MB

又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。„„„„ 4分

A1 D1 P N B1 C1

M F D O （Ⅱ） 过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF， ∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1， ∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，

A EC

∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角，„„ 7分 设AA1=a，则AB=2a，AF=sin∠APF=

AFAP63233aB

，AP=2a，

63。所以，直线AP与平面PBC所成的角是arcsin。 „„„„ 9分

（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC，所以k2。 反之，当k=2时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥OPBC为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为PBC的重心 „„„„ 14分

法二：以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB22，则得A1(2,0,22k)、E(1,1,0)、P(0,0,22k22k)、B(0,2,0)、C(2,0,0) „2分

z D1 P A1 B1 C1

(Ⅰ)由上得A1E(1,1,)、BC(2,2,0)、

22PB(0,2,)，设A1ExBCyPB得

k(1,1,22k)x(2,2,0)y(0,2,22k)

D C

O 解得

11x， y1， ∴A1EBCPB22

x A EB y BCPBB，A1E平面PBC ∴A1E∥平面PBC „„„„„„4分

_

（Ⅱ）当k2时，由P(0,0,2)、A(2,0,0)得PA(2,0,2)、BC(2,2,0)、PB(0,2,2)

n10BC0设平面PBC的法向量为n(1,,)，则由，得0nPB0，n(1,1,1)„„„„7分

PAn6cosPA， n3PAn，∴直线PA与平面PBC所成角的大小为arcsin63. „„„„9分

2222(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PBC的重心G为,,333k2222，则OG(,,)，

333kOGBC0若O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心，则有OGPB0，解得k2 ∴当k2时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心. „„„14分

(18).【解】(Ⅰ) 设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2,且P1>P2,

5P(1P)(1P)P121212由题意得：1(1P)(1P)111212 „„„„3分

解得：P134,P223∴PP1P212.

即，一个零件经过检测为合格品的概率为. „„„„6分

21（Ⅱ）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为

131511CC516224555 „„„„„„10分

4122（Ⅲ）依题意知～B(4,)，E21，D412121 „„„„14分

(19).(Ⅰ)证明：设bnan1an,则bn1an2an12an132an32(an1an)2bn

由题设知: a21,b12,则bn是以2为首项,公比为2的等比数列………（4分） (Ⅱ) 由(Ⅰ)知: bn2n 即 an1an2n

∴ ana1(anan1)(an1an2)(an2an3)(a3a2)(a2a1) 2n12n22n322212nn*,得2 an23nN………（8分）

(Ⅲ) 由题设及(Ⅱ)知: cn2n32n,设Tnc1c2c3cn(nN*)

则Tn2n1n24n2

n01n1nn01n1n由2CnCnCnCn知:当n3时,2CnCnCnCn2n2

∴当n3时,cn0, 当n4时,cn0,

TnSnTn2T3(n3)(n4)

2n1n4n22∴Snn12n4n162(n3)(n4)……………………………（14分）

(20).【解】(Ⅰ) 由题设知：f'(x)1aa1x2xa(a1)ax22

①当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(a(a1),0)及(0,a(a1))， ②当0a1时，函数f(x)的单调递增区间为(,0)及(0,)，

③当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(,a(a1))及(a(a1),)．

（6分） (Ⅱ)由题设及(Ⅰ)中③知a(a1) 因此函数解析式为F(x)3x3x6且a1，解得a3， （8分）

23(x0)． （9分）

(Ⅲ)假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的对称轴，

故可设l：ykx（k0）， 设P(p,q)为曲线C上的任意一点，且pp，P(p,q)与P(p,q)关于直线l对称，

qq，则P也在曲线C上，由此得

qq2kpp2，

qqpp1k，且qp323p，qp323p， （12分）

整理得k1k23，解得k3或k3333，

所以存在直线y3x及yx为曲线C的对称轴． （14分）

2 (21).【解】(Ⅰ) 由条件得

(2x)92(2y)41，得C2：

x294y2（2分） 1；

(Ⅱ) C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换(x,y)(x,y)(0)，得到C2y解方程组2x1622y2x1622y422（3分） 1，

x(x0)得点A的坐标为(14326（4分） ,)；

3342yx(x0)43262解方程组得点B的坐标为(（5分） ,)；

222233yx1416AB(433433)(2263263x2)＝

2221＝2，化简后得3840，解得12，2223，

因此椭圆C2的方程为

x24y21或

36y29（9分）（漏写一个方程扣2分） 1．

2pn (Ⅲ)对Cn：y222pnx作变换(x,y)(nx,ny)得抛物线Cn1：(ny)2pnnx，得y2nx，又

y22pn1x,pn1pnn，即

pn1pn21n32，（11分）

np2p1p3p2p4p3pn－1pn2pnpn1＝2222n1,则

pnp12123(n1)21n(n1)2，（13分）

1（或解：pn12pn,pn2p11，pn21n(n1)2nn1pn12(n1)(n2)21p122n(n1)p1）

．（14分）