测绘中级附合导线测量的内业计算的方法步骤

导线测量内业计算的目的就是计算各导线点的平面坐标x、y。 计算之前，应先全面检查导线测量外业记录、数据是否齐全，有无记错、算错，成果是否符合精度要求，起算数据是否准确。然后绘制计算略图，将各项数据注在图上的相应位置，如图6-11所示。

一、坐标计算的基本公式

1．坐标正算

x xB xAB xA yAB B αAB A O yA yB y

根据直线起点的坐标、直线长度及其坐标方位角计算直线终点的坐标，称为坐标正算。如图6-10所示，已知直线AB起点A的坐标为（xA，yA），AB边的边长及坐标方位角分别为DAB和αAB，需计算直线终点B的坐标。

直线两端点A、B的坐标值之差，称为坐标增量，用ΔxAB、ΔyAB表示。由图6-10可看出坐标增量的计算公式为：

xABxBxADABcosAB yAByByADABsinAB

（6-1）

根据式（6-1）计算坐标增量时，sin和cos函数值随着α角

图6-10 坐标增量计算

所在象限而有正负之分，因此算得的坐标增量同样具有正、负号。坐标增量正、负号的规律如表6-5所示。

表6-5 坐标增量正、负号的规律 象限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 坐标方位角α 0～90 90～180 180～270 270～360 Δx ＋ － － ＋ Δy ＋ ＋ － － 则B点坐标的计算公式为：

xBxAxABxADABcosAB yByAyAByADABsinAB

（6-2）

例6-1 已知AB边的边长及坐标方位角为DAB135.62m，AB803654，若A点的坐标为

xA435.56m，yA658.82m，试计算终点B的坐标。

解 根据式（6-2）得

xBxADABcosAB435.56m135.62mcos803654457.68myByADABsinAB658.82m135.62msin803654792.62m

2．坐标反算

根据直线起点和终点的坐标，计算直线的边长和坐标方位角，称为坐标反算。如图6-10所示，已知直线AB两端点的坐标分别为（xA，yA）和（xB，yB），则直线边长DAB和坐标方位角αAB的计算公式为：

22DxyABAB AB（6-3）

yABABarctanxAB

（6-4）

应该注意的是坐标方位角的角值范围在0～360间，而arctan

函数的角值范围在－90～＋90间，两者是不一致的。按式（6-4）计算坐标方位角时，计算出的是象限角，因此，应根据坐标增量Δx、Δy的正、负号，按表6-5决定其所在象限，再把象限角换算成相应的坐标方位角。

例6-2 已知A、B两点的坐标分别为

xA342.99m，yA814.29m，xB304.50m，yB525.72m 试计算AB的边长及坐标方位角。 解 计算A、B两点的坐标增量

xABxBxA304.50m342.99m38.49myAByByA525.72m814.29m288.57m 根据式（6-3）和式（6-4）得

222DABx2y(38.49m)(288.57m)291.13m ABAByAB288.57mABarctanarctan2622409xAB38.49m

二、闭合导线的坐标计算

现以图6-11所注的数据为例（该例为图根导线），结合“闭合导线坐标计算表”的使用，说明闭合导线坐标计算的步骤。

2 3 108°27′18″ 84°10′18″ x 121°27′02″ 135°49′11″ 90°07′01″ 335°24′00″

1 x1＝500.00m y1＝500.00m

4 5 图6-11 闭合导线略图

1．准备工作

将校核过的外业观测数据及起算数据填入“闭合导线坐标计算表”中，见表6-6，起算数据用单线标明。

2．角度闭合差的计算与调整

（1）计算角度闭合差 如图6-11所示，n边形闭合导线内角和的理论值为：

th(n2)180

（6-5）

式中 n——导线边数或转折角数。

由于观测水平角不可避免地含有误差，致使实测的内角之和

m不等于理论值th，两者之差，称为角度闭合差，用fβ表示，

即

fmthm(n2)180

（6-6）

（2）计算角度闭合差的容许值 角度闭合差的大小反映了水平角观测的质量。各级导线角度闭合差的容许值fβp见表6-3和表6-4，其中图根导线角度闭合差的容许值fβp的计算公式为：

nf60p

（6-7）

如果

f＞

fp，说明所测水平角不符合要求，应对水平角重

新检查或重测。

如果

f≤

fp，说明所测水平角符合要求，可对所测水平角

进行调整。

（3）计算水平角改正数 如角度闭合差不超过角度闭合差的容许值，则将角度闭合差反符号平均分配到各观测水平角中，也就是每个水平角加相同的改正数vβ，vβ的计算公式为：

（6-8）

vfn

计算检核：水平角改正数之和应与角度闭合差大小相等符号相反，即

vf

（4）计算改正后的水平角 改正后的水平角βi改等于所测水平

角加上水平角改正数

i改iv

（6-9）

计算检核：改正后的闭合导线内角之和应为（n－2）×180，本例为540。

本例中fβ、fβp的计算见表6-5辅助计算栏，水平角的改正数和改正后的水平角见表6-6第3、4栏。

3．推算各边的坐标方位角

根据起始边的已知坐标方位角及改正后的水平角，按式（4-18）和式（4-19）推算其它各导线边的坐标方位角。

本例观测左角，按式（4-18）推算出导线各边的坐标方位角，填入表6-6的第五栏内。

计算检核：最后推算出起始边坐标方位角，它应与原有的起始边已知坐标方位角相等，否则应重新检查计算。

4．坐标增量的计算及其闭合差的调整

（1）计算坐标增量 根据已推算出的导线各边的坐标方位角和相应边的边长，按式（6-1）计算各边的坐标增量。例如，导线边

1-2的坐标增量为：

x12D12cos12201.60mcos3352400183.30m y12D12sin12201.60msin335240083.92m

用同样的方法，计算出其它各边的坐标增量值，填入表6-6的

第7、8两栏的相应格内。

（2）计算坐标增量闭合差 如图6-12a所示，闭合导线，纵、横坐标增量代数和的理论值应为零，即

xth0 yth0

（6-10）

x x23 y23 －) (－) (y12 x 3 12 3 2 (－) (＋)x 2 WD Wy x34 (－) (＋) y34 x45 1 4 (＋)x 51 1 4 5 b)

Wx 1′ (－) (＋) y 45 O

a)

5 y51 ) (＋ y O

y

图6-12 坐标增量闭合差

实际上由于导线边长测量误差和角度闭合差调整后的残余误差，使得实际计算所得的xm、ym不等于零，从而产生纵坐标增量闭合差Wx和横坐标增量闭合差Wy，即

WxxmWyym

（6-11）

（3）计算导线全长闭合差WD和导线全长相对闭合差WK 从图

6-12b可以看出，由于坐标增量闭合差Wx、Wy的存在，使导线不能闭合，1-1′之长度WD称为导线全长闭合差，并用下式计算

WD=

（6-12）

仅从WD值的大小还不能说明导线测量的精度，衡量导线测量的精度还应该考虑到导线的总长。将WD与导线全长∑D相比，以分子为1的分数表示，称为导线全长相对闭合差WK，即

22WxWy

WD1KDDWD

（6-13）

以导线全长相对闭合差WK来衡量导线测量的精度，WK的分母越大，精度越高。不同等级的导线，其导线全长相对闭合差的容许值

WKP参见表6-3和表6-4，图根导线的WKP为1/2 000。

如果WK＞WKP，说明成果不合格，此时应对导线的内业计算和外业工作进行检查，必要时须重测。

如果WK≤WKP，说明测量成果符合精度要求，可以进行调整。 本例中Wx 、Wy、WD及WK的计算见表6-6辅助计算栏。 （4）调整坐标标增量闭合差 调整的原则是将Wx 、Wy反号，并按与边长成正比的原则，分配到各边对应的纵、横坐标增量中去。以vxi、vyi分别表示第i边的纵、横坐标增量改正数，即

vxi

（6-14）

vyiWxDiDWyDiD

本例中导线边1-2的坐标增量改正数为：

vx12Wx0.30mD12201.60m0.05m1137.80mD

vy12WyDD120.09m201.60m0.02m1137.80m

用同样的方法，计算出其它各导线边的纵、横坐标增量改正数，填入表6-6的第7、8栏坐标增量值相应方格的上方。

计算检核：纵、横坐标增量改正数之和应满足下式

vxWxvWy y

（6-15）

（5）计算改正后的坐标增量 各边坐标增量计算值加上相应的改正数，即得各边的改正后的坐标增量。

xi改xivxiyi改yivyi

（6-16）

本例中导线边1-2改正后的坐标增量为：

x12改x12vx12183.30m0.05m183.35m

y12改y12vy1283.92m0.02m83.90m

用同样的方法，计算出其它各导线边的改正后坐标增量，填入表6-6的第9、10栏内。

计算检核：改正后纵、横坐标增量之代数和应分别为零。 5．计算各导线点的坐标

根据起始点1的已知坐标和改正后各导线边的坐标增量，按下式依次推算出各导线点的坐标：

xixi1xi1改yyi1yi1改 i

（6-17）

将推算出的各导线点坐标，填入表6-6中的第11、12栏内。最后还应再次推算起始点1的坐标，其值应与原有的已知值相等，以作为计算检核。

表6-6 闭合导线坐标计算表

点号 1 1 观测角 （左角） 2 改正数 ″ 3 -10″ -10″ -10″ -10″ -10″ 改正角 4=2+3 108°27′08″ 距离D 坐标方位角α /m 5 6 335°24′00″ 263°51′08″ 2 108°27′18″ 3 84°10′18″ 84°10′08″ 168°01′16″ 135°49′01″ 123°50′17″ 90°06′51″ 33°57′08″ 121°26′52″ 4 135°49′11″ 5 90°07′01″ 增量计算值 改正后增量 Δx/m Δy/m Δx/m Δy/m 7 8 9 10 +5 +2 + + +7 +2 +7 +2 + + +5 +1 + + +6 + +2 + + 0 + 坐标值 x/m y/m 11 12 点 号 13 1

2 3 4 5

1 121°27′02″ 2 ∑ 540°00′50″ 1

335°24′00″ 0 -50″ 540°00′00″

m5400050 Wxxm0.30m Wyym0.09m 22WWW辅 5400000xy0.31m －）th D助 计 0.3111算 WWKKpf501137.8036002000

fp605134ff ＜P 三、附合导线坐标计算

附合导线的坐标计算与闭合导线的坐标计算基本相同，仅在角度闭合差的计算与坐标增量

闭合差的计算方面稍有差别。

1．角度闭合差的计算与调整

（1）计算角度闭合差 如图6-13所示，根据起始边AB的坐标方位角AB及观测的各右角，

按式（4-19）推算CD边的坐标方位角CD。 x A αAB 205°36′48″ α AB＝236°44′28″ αCD＝69°38′01″ B xB＝1536.86m x yB＝ 837.54m D 3 4 αCD 1 C xC＝1429.02m

2 290°40′54″167°21′56″ 175°31′25″ 214°09′33″ yC＝1283.17m 202°47′08″

图6-13 附合导线略图

B1AB180B

12B11801

23121802 34231803

34180C )CD CDAB5180m

写成一般公式为：

0n180R （6-18） fin若观测左角，则按下式计算：

0n180L （6-19） fin附合导线的角度闭合差fβ为：

finffin （6-20）

（2）调整角度闭合差 当角度闭合差在容许范围内，如果观测的是左角，则将角度闭合差反号平均分配到各左角上；如果观测的是右角，则将角度闭合差同号平均分配到各右角上。

2．坐标增量闭合差的计算

附合导线的坐标增量代数和的理论值应等于终、始两点的已知坐标值之差，即

xthxfinx0 ythyfiny0 （6-21）

纵、横坐标增量闭合差为：

Wxxxthx(xfinx0)Wyyythy(yfiny0) （6-22）

图6-13所示附合导线坐标计算，见表6-7。

表6-7 附合导线坐标计算表

点 号 1 A 观测角 （右角） 2 改正数 3 改正角 4=2+3 坐标方位角 α 5 236°44′28″ 211°07′53″ 100°27′11″ 202°46′55″ 77°40′16″ 167°21′43″ 90°18′33″ 175°31′12″ 94°47′21″ 214°09′20″ 60°38′01″ 距离D /m 6 增量计算值 Δx/m Δy/m 7 8 － ＋4 2 － － ＋3 －2 － ＋ ＋4 －2 + ＋ ＋3 －2 － ＋ ＋5 －3 － ＋ 改正后增量 Δx/m Δy/m 9 10 － － ＋ － － － 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 1 1 1 坐标值 x/m y/m 11 12 1 点 号 13 A B 1 2 3 4 C

B 1 2 3 4 －205°36′48″ 205°36′35″ 13″ －290°40′54″ 290°40′42″ 12″ －13″ －167°21′56″ 13″ －175°31′25″ 13″ －214°09′33″ 13″ 202°47′08″ C 1 －1 ∑ 256°07′44″ 77″ 256°06′25″ D － ＋ － ＋ D

AB6180R603644CD xm108.03 ym445.74 CD117辅 fCD )xCxB107.84 )yCyB445.63 助 计 fp606147W0.11m Wx0.19m y 算 fff ＜p D

2Wx2Wy0.22m WK0.2211WKp641.4429002000

三、支导线的坐标计算

支导线中没有检核条件，因此没有闭合差产生，导线转折角和计算的坐标增量均不需要进

行改正。支导线的计算步骤为：

1．根据观测的转折角推算各边的坐标方位角。

2．根据各边坐标方位角和边长计算坐标增量。 3．根据各边的坐标增量推算各点的坐标。