专题课多体机械能守恒问题
1．(多选)如图LZ4－1所示，斜面置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )
图LZ4－1
A．物体的重力势能减少，动能增加 B．斜面的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功 D．物体和斜面组成的系统机械能守恒
2．(多选)一名蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加 C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒 D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
图LZ4－2
3．如图LZ4－2所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，不计空气阻力．在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )
A．重物的机械能守恒 B．重物的机械能增加
C．重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变 D．重物与弹簧组成的系统机械能守恒
4．如图LZ4－3所示，A、B两个质量相同的小球固定在一轻杆的两端，杆可绕一水平放置的固定转轴O转动，将杆从水平位置由静止释放，当杆到达竖直位置时，设杆对A做功为W，B球机械能的变化量为ΔE，则( )
图LZ4－3
小学+初中+高中
小学+初中+高中
A．W＝0，ΔE＝0B．W<0，ΔE>0 C．W>0，ΔE>0D．W>0，ΔE<0
图LZ4－4
5．如图LZ4－4所示，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静止于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b，则当b刚落地时a的速度为( )
A.gh B.2gh C.3gh D.6gh
6．如图LZ4－5所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长时，圆环高度为h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零，则在圆环下滑到底端的过程中( )
图LZ4－5
A．圆环机械能守恒
B．弹簧的弹性势能先减小后增大 C．弹簧的弹性势能变化了mgh
D．弹簧与光滑杆垂直时圆环动能最大
7．如图LZ4－6所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边光滑的定滑轮与质量为2m的砝码相连，把绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离，砝码未落地，木块仍在桌面上，求此时砝码的速度以及轻绳对砝码做的功．
图LZ4－6
8．如图LZ4－7所示，轨道ABCD平滑连接，其中AB为光滑的曲面，BC为粗糙水平面，CD为半径为r的内壁光滑的四分之一圆管，管口D正下方直立一根劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定，上端恰好与D端齐平．质量为m的小球在曲面AB上距BC高为3r处由静止下滑，进入管口C端时与圆管恰好无压力作用，通过CD后压缩弹簧，压缩过程中小球速度最大时弹簧弹性势能为Ep.已知小球与水平面BC间的动摩擦因数为μ，求：
(1)水平面BC的长度s；
(2)小球向下压缩弹簧过程中的最大动能Ekm.
小学+初中+高中
小学+初中+高中
图LZ4－7
9．如图LZ4－8所示，总长为L的光滑匀质铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始底端相齐，当略有扰动时某一端下落，则铁链脱离滑轮的瞬间，其速度为多大？(滑轮半径可忽略不计)
图LZ4－8
10．如图LZ4－9所示，光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m1的小球A用轻绳跨过圆柱与质量为m2的小球B相连，开始时将A放在平台上，两边绳子竖直．两球由静止释放，A上升，B下降，当A上升到圆柱的最高点时，绳子突然断了，发现A恰能做平抛运动，求m2∶m1.(A、B均视为质点)
图LZ4－9
1．AD [解析]物体由静止开始下滑的过程中重力势能减少，动能增加，A项正确；物体在下滑过程中，斜面向右做加速运动，机械能增加，B项错误；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面向右运动，所受弹力方向垂直于接触面，但与其速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，C项错误；对物体与斜面组成的系统，只有物体的重力和物体与斜面间的弹力做功，机械能守恒，D项正确．
2．ABC [解析]到达最低点前高度始终在降低，所以重力势能始终减小，选项A正确；绳张紧后的下落过程中，绳的伸长量逐渐增大，绳的弹力做负功，弹性势能增大，选项B正确；在蹦极过程中，只有重力与系统内弹力做功，故运动员、地球、蹦极绳组成的系统机械能守恒，选项C正确；重力势能的改变与重力做功有关，重力做功只与始、末位置高度差有关，与零势能面的选取无关，选项D错误．
3．D [解析]重物由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故选项A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能等于重物获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，选项D正确． 小学+初中+高中
小学+初中+高中
4．D [解析]两小球组成的系统机械能守恒，杆竖直时A在最高点，B在最低点，A球的速度由0增大，重力势能增加，A的机械能增加，则B的机械能减少，ΔE<0；在此过程中，由动能定理可知，杆对A做正功，W>0，对B做负功，选项D正确．
5．A [解析]a、b两球组成的系统机械能守恒，设b刚落地时的速度大小为v，则整个122
过程动能增加量ΔEk增＝(m＋3m)v＝2mv，重力势能的减少量ΔEp减＝3mgh－mgh＝2mgh，由
2机械能守恒定律得ΔEk增＝ΔEp减，所以2mv＝2mgh，v＝gh，A项正确．
6．C [解析]圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环机械能不守恒，A项错误；弹簧形变量先增大后减小，再增大，所以弹性势能先增大后减小，再增大，B项错误；由于圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，所以弹簧的弹性势能增加了mgh，C项正确；弹簧与光滑杆垂直时，圆环所受合力沿杆向下，圆环具有与速度同向的加速度，所以做加速运动，D项错误．
7.
223gh －mgh 33
2
[解析]砝码从静止开始下降h高度的过程中，两物体组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律，系统减少的重力势能等于系统增加的动能，则：
1212
2mgh＝mv＋·2mv
222
解得：v＝3gh
3
设轻绳对砝码做功为W，对砝码由动能定理得 12
2mgh＋W＝·2mv－0
22
解得：W＝－mgh.
3
5r3mg
8．(1) (2)mgr＋－Ep
2μ2k
vC
[解析] (1)由小球在C点对轨道没有压力，有mg＝m
r
12
小球从出发点运动到C点的过程中，由动能定理得3mgr－μmg·s＝mvC
25r
解得s＝.
2μ
(2)速度最大时，小球加速度为0，设弹簧压缩量为x. mg
由kx＝mg，得x＝
k
由C点到速度最大时，小球和弹簧构成的系统机械能守恒． 设速度最大时的位置为零势能面，有 12
mvC＋mg(r＋x)＝Ekm＋Ep 2
3mg
解得Ekm＝mgr＋－Ep.
2k9.
gL 2
22
2
22
小学+初中+高中
小学+初中+高中
[解析]方法一：利用Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2求解，取开始时铁链下端为参考平面
设铁链质量为m，开始时底端所在平面为零势能面，则初状态动能Ek1＝0，势能为Ep1
112
＝mgL；设末状态的速度为v，则有动能Ek2＝mv，势能Ep2＝0.根据机械能守恒定律，得42112
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，即mgL＝mv，解得v＝
42
gL
. 2
方法二：利用ΔEp＝ΔEk求解．
设铁链总质量为m，初状态至末状态可等效为一半铁链移至另一半下端，其重力势能的mgLmgL
减少量为ΔEp＝·＝
224
12
设末状态时铁链的速度为v，则动能的增量为ΔEk＝mv
2mgL12
由机械能守恒定律，得＝mv，解得v＝4210．5∶(1＋π)
v
[解析] 由题意可知，在A上升到最高点时，由重力提供向心力，即m1g＝m1 R从开始到A到达最高点的过程中，A、B和轻绳组成的系统机械能守恒，则 π12
m2gR(1＋)－2m1gR＝(m1＋m2)v
22由以上两式得m2∶m1＝5∶(1＋π)．
2
gL
. 2
小学+初中+高中
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