【精准解析】河南省郑州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题

郑州市2019—2020学年下期期末考试

高中二年级数学（理）试题卷

一、选择题

1. 设复数z2ai，若zz，则实数a（ ） A. 0 【答案】A 【解析】 【分析】

利用共轭复数及复数相等的定义即可得到答案.

【详解】因为zz，所以2ai2ai，解得a0． 故选：A.

【点睛】本题考查复数的概念，考查学生的基本运算能力，是一道容易题. 2. 设a,b,c为任意正数．则aA. 都大于2 个不大于2 【答案】C 【解析】 【分析】

B. 2

C. 1

D. 2

111,b,c这三个数（ ） bcaC. 至少有一个不小于2 D. 至少有一

B. 都小于2

111bc6，得出矛盾，得到答案. abc111111【详解】假设三个数均小于2，即a2,b2,c2，故abc6，

bcaabc假设三个数均小于2，利用均值不等式得到a而a111111bc2a2b2c6， abcabc111bc6矛盾， abc当abc1时等号成立，这与a故假设不成立，故至少有一个不小于2，C正确；

取abc2，计算排除BD；取abc1，计算排除A. 故选：C.

【点睛】本题考查了反证法，意在考查学生的推断能力和计算能力，均值不等式的灵活运用是解题的关键.

- 1 -

3. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：x1,y1,x2,y2,......,xn,yn，则下列说法中不正确的是（ ）

A. 由样本数据得到的回归方程ybxa必过样本中心x,y B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好

D. 若变量y和x之间的相关系数为r0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系 【答案】C 【解析】

解：样本中心点在直线上，故A正确，

残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确， R2越大拟合效果越好，故C不正确，

当r的值大于0.75时，表示两个变量具有线性相关关系， 故选C

4. 函数f( x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( ) A. 0,1 【答案】A 【解析】 【分析】

求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求．

【详解】由f（x）＝x2﹣2lnx，得：f′（x）＝（x2﹣2lnx）′＝2x因为函数f（x）＝x2﹣2lnx的定义域为（0，+∞）， 由f′（x）＜0，得：2x＜0，即（x+1）（x﹣1）＜0， 解得：0＜x＜1．

所以函数f（x）＝x2﹣2lnx的单调递减区间是（0，1）． 故选A．

【点睛】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．

- 2 -

B. 1, C. ,1 D. 1,1

2． x2x

5. 某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,100)，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）

2参考数据：若随机变量服从正态分布N(,)，则P()0.6827，

P(22)0.9545，P(33)0.9973.】

A. 17

B. 23

C. 34

D. 46

【【答案】B 【解析】

详解：由题得=300，=10，

所以P(x320)解. 6.

分析：先求用电量在320度以上的概率，再求用电量在320度以上的居民户数.

（300-2030020)P(280320)0.9545， 所以P10.95450.023， 2所以求用电量在320度以上的居民户数为1000×0.023=23.故答案为B.

点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求

11edx的值为（ ）

xA. 2 C. 2e2 【答案】C 【解析】 【分析】

根据微积分基本定理结合积分的性质计算．

11xB. 2e D. 2e2

【详解】edx2edx2e10xx102(e1)．

故选：C．

【点睛】本题考查微积分基本定理，属于基础题．

7. 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，

- 3 -

则PBA=（ ） A.

1 2B.

1 4C.

1 6D.

1 8【答案】A 【解析】 【分析】

根据条件概率求结果

【详解】“第一次出现正面”：P(A)“两次出现正面”: P(AB)1, 2111=, 2241P(AB)41PB|A== 则P(A)122故选;A

【点睛】此题考查条件概率问题，关键点是读懂每个事件的含义，准确写出其概率．PBA表示的是在A事件的基础上B事件的概率是多少． 8. 随机变量X的分布列为

X P

-1 a 0 1 b c 其中a,b,c成等差数列,则P|X|1等于 A. C.

1 61 2【答案】D 【解析】

因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,

1, 32所以P(|X|=1)=a+c=，故选D.

3又a+b+c=1所以b=

- 4 -

,1 32D.

3B.

9. 函数yx2lnxx的图象大致是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D 【解析】 【分析】

根据函数为偶函数排除B,当x0时,利用导数得f(x)在(0,)上递减,在(,)上递增,根据单调性分析A,C不正确,故只能选D.

1e1ex2ln|x|(x)2ln|x|f(x), 【详解】令f(x),则f(x)|x||x|所以函数f(x)为偶函数,其图像关于y轴对称,故B不正确,

x2lnx当x0时,f(x)xlnx,f(x)1lnx,

x由f(x)0,得x11,由f(x)0,得0x, ee1e所以f(x)在(0,)上递减,在(,)上递增, 结合图像分析,A,C不正确. 故选:D

【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.

1e - 5 -

ˆx2且y4，通过残差分析，发现两个数据10. 已知一组数据确定的回归直线方程为y1,7,2.9，2,3,5.1误差较大，去除这两个数据后，重新求得回归直线的斜率为1.5，

ˆ（ ） 则当x4时，yA. 6 【答案】B 【解析】 【分析】

由y求得x，再求出去除两个数据后的x,y的新均值，从而得出新回归方程，根据新回归方程可得结论．

【详解】由题意x2y242，

设原来有n个数据，则去除两个数据后还有n2个数据，这n2个数据的中心点记为

B. 7

C. 8

D. 13

(x,y)，

则x2n(1.72.3)4n(2.95.1)2，y4，

n2n2设新回归方程为y1.5xm，则41.5(2)m，m1，即y1.5x1，

x4时，y1.5(4)17．

故选：B．

【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点． 11. 两名同学分4本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得4本书的概率为（ ） A.

1 2B.

1 4C.

1 6D.

1 8【答案】D 【解析】 【分析】

两名同学分4本不同的书，先利用排列组合求出基本事件总数，再求出其中一人没有分到书，另一人分得4本书包含的基本事件个数，由此能求出其中一人没有分到书，另一人分得4本书的概率．

【详解】解：两名同学分4本不同的书，

- 6 -

22C4C22)A216， 基本事件总数n(CCC2A244341142A22， 其中一人没有分到书，另一人分得4本书包含的基本事件个数mC4其中一人没有分到书，另一人分得4本书的概率p故选：D．

m21． n168【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

12. 关于x的方程x22x（ ） A. 1 【答案】B 【解析】 【详解】 【分析】

设fxx2xef'xx22x2xe2xt1x22xe40tR的不等实根的个数为

B. 3 C. 5 D. 1或5

x2e，

x所以函数在,2,且

当

2,+上单调递增，在递减， （2，2）xfx0，

f2(222）e2,f00,f当x,fx, 由此画出函数草图，如图所示：

2222e2，

关于x的方程x2x22e2xt1x22x ex40,

 - 7 -

令ufxu2t1u40,t1160， 故有两个不同的解u1,u2， 又u1u2f2f24，

所以无论如何与函数图像都有3个交点

点睛：根据题意此题属于复合方程求零点的问题，解复合方程首先要分析此方程中函数的草图，然后将函数f(x)看成一个变量去求解二次函数的解的个数，然后再研究f(x)图像与二次函数的解的交点个数即为复合方程的解的个数. 二、填空题

6113. 二项式x的展开式中，常数项是______. x【答案】20 【解析】 【分析】

写出展开式通项公式，由x的指数为0可得常数项的项数，从而得常数项．

r6r1r62r【详解】由题意展开式通项公式为Tr1C6xC6x，

xr.2

令62r0，r3，所以常数项为T4故答案为：20．

C6320．

【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键． 14. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ． 【答案】24 【解析】

试题分析：不相邻问题用插空法：先排三把空椅，产生四个间隔，再在四个间隔中安排3人，

3共有A424种坐法

考点：不相邻问题

15. 观察下面的三角形数组，可以推测：该数组第10行的和为______.

- 8 -

【答案】3025 【解析】 【分析】

根据题意分别列举出每一行的和，并找到规律，归纳总结即可． 【详解】解：第一行的和为131； 第二行的和为1323(12)2； 第三行的和为132333(123)2； 第四行的和为13233343(1234)2；



第十行的和为132333103(12310)25523025； 故答案为：3025．

【点睛】本题考查归纳推理，考查学生逻辑思维能力和计算能力，找到每行中和的规律为解题的关键，属于中档题．

16. 已知函数f(x)ae(a0)与g(x)2xm(m0)的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为______________.

x28a【答案】0,2

e【解析】 分析】

设切点为Ax0,y0，根据已知得f(x0)g(x0),f(x0)g(x0)，求出x02，得a4x0，ex0 - 9 -

构造函数h(x)4x,x2，求出h(x)的范围即可. xex【详解】设切点为Ax0,y0，f(x)ae,g(x)4x

24x2xm00x02ae2x0m则x0，整理得x00，

ae4x0m02由m2x04x00，解得x02.

4x04x4(1x)h(x)h(x)，令，则. xx0xeee4(1x)4x0,h(x)因为x2，所以h(x)在(2,)上单调递减， exex由上可知a88a所以0h(x)2，即0,2.

ee故答案为：0,8. e2【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求参数的范围，考查计算求解能力，属于中档题. 三、解答题

17. 已知复数z满足12iz43i（i是虚数单位）. 求：（1）z； （2）zz.

【答案】(1) 2i；(2) 26 【解析】 【分析】 (1)易得z243i,再利用复数的除法运算即可. 12i(2)由(1)分别求得z2,z再计算z2z求模长即可. 【详解】(1)由题z43i43i12i105i2i.即z2i 12i12i12i52222(2)由(1)z2i,故z2z2i2i15i,故zz1526. - 10 -

即zz226 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算与模长的计算等.属于基础题.

318. 在二项式(x123x)n的展开式中，

（1）若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项． （2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和． 【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）由所有二项式系数之和为64，2n64 n6，根据中间项的二项式系数

15;（2） .

25621最大可得结果；（2）由前三项系数的绝对值成等差数列可得n=8,，令x1计算3x23x的大小，即可得答案.

01试题解析：（1）由已知得CnCnnCn64，2n64 n6，

n133展开式中二项式系数最大的项是T4C6xr63115103x20x

28231rn32r（2）展开式的通项为Tr1Cnx，r0,1,202,n

101112成等差数列，21C111C2∴n=8,

由已知：Cn,Cn,Cnnn2422211在3x中令x=1，得各项系数和为 32562x19. 已知函数f(x)xalnx(aR).

（1）当a2时，求曲线yf(x)在点A(1,f(1))处的切线方程； （2）讨论函数f(x)的单调区间.

【答案】（1）xy20（2）当a0时增区间0,，当a0时增区间a,，减区间0,a

n - 11 -

【解析】

试题分析：（1）当a2时，f(x)x2lnx，求得切点为A1,1，f(x)12，求得斜x率为f11，故切线方程为y1(x1)；（2）函数的定义域为0,，

f(x)1axa，当a0时，∵x0，∴f(x)0恒成立，函数单调递增，当a0xx时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调递增. 试题解析：

（1）∵a2，∴f(x)x2lnx，∴f(1)12ln11，即A(1,1)

f(x)12，f(1)121， x由导数的几何意义可知所求切线的斜率kf(1)1， 所以所求切线方程为y1(x1)，即xy20. （2）f(x)1axa， xx当a0时，∵x0，∴f(x)0恒成立， ∴f(x)在定义域(0,)上单调递增； 当a0时，令f(x)0，得xa，

∵x0，∴f(x)0，得xa；f(x)0得0xa； ∴f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调递增. 考点：导数与切线、单调区间．

220. 已知数列xn满足x10，xn1xnxncnN，0c1，求证：数列xn4是递增数列. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 若0c1，要证{xn}是递增数列．即证xnc对任意n1成立，然后利用数学归纳法的证4明步骤证明即可．

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【详解】证明：若0c21，要证xn是递增数列. 4即xn1xnxnc0，即证xnc对任意n1成立. 下面用数学归纳法证明： 当0c1时，xnc对任意n1成立. 4①当n1时，x10②假设当nk（k2c1，结论成立 21，kN）时结论成立，即xkc

1内单调递增， 2因为函数fxxxc在区间,所以xk1fxkfcc，

∴当nk1时，xk1c成立.

由①，②知，0xnc对任意n1，nN成立. 因此，xn1xnxncxn，即xn是递增数列.

2点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

21. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

潜伏期 【（单位：天） 人数 85 205

0,2 2,4 4,6 6,8 8,10 10,12 12,14 310 250 130 15 5 （1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

- 13 -

50岁以上（含50岁） 50岁以下 总计

潜伏期≤6天 55 潜伏期＞6天 总计 100 200 （2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为X，则X的期望是多少？ 附：

PK2k0 k0

0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 nadbc2其中nabcd. Kabcdacbd【答案】（1）表格见解析，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；（2）8. 【解析】 【分析】

（1）从已知数据知潜伏期有(0,6]的有600人，超过6天的有400人，由分层抽样按比例可得潜伏期不超过6天的抽样人数及超过6天的抽样人数，由此可填写列联表，计算K2后可得结论；

（2）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为

24002，设调查的20名10005患者中潜伏期超过6天的人数为X，则X服从二项分布：X2B20,，由二项分布的期

5- 14 -

望公式可直接得期望．

【详解】（1）根据题意，补充完整的列联表如下：

50岁以上（含50岁） 50岁以下 总计

潜伏期＜6天 65 55 120 潜伏期≥6天 35 45 80 总计 100 100 200 65455535252.083， 则K21208010010012经查表，得K22.0833.841，

所以，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.

（2）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为

24002， 10005设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，则X服从二项分布：

Xk20k2k23B20,，PXkC20，k0,1,2,,20， 555则EX2028，所以，X的期望为EX8. 5【点睛】本题考查统计图表，考查分层抽样、列联表、独立性检验，考查二项分布及其期望，主要考查了学生的数据处理能力，运算求解能力．属于中档题． 22. 已知函数fx的底数. （1）求k的值； （2）若函数gxexlnx1ek的极大值为，其中k为常数，e2.71828为自然对数

exa，对任意实数x0,，不等式gxafx恒成立，求实数xa的取值范围.

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【答案】（1）1；（2）0a1. 【解析】 【分析】

（1）本小题先求导函数，再根据单调性求解即可.

（2）本小题先将不等式恒成立问题转化为函数恒大于零的问题，再分类讨论解题即可. 【详解】（1）fx的定义域为0,，fx1lnxx2， 令fx0，解得：0xe，令fx0，解得：xe，

所以当x0,e，fx为增函数，当xe,，fx为减函数， 所以xe时，fx有极大值fe1ek1ee，所以k1； （2）由（1）知，fxlnxx1， 则gxafx，即exaalnxxxa对x0,恒成立， 所以xexaalnxax对x0,恒成立， 即xexalnxaxa0对x0,恒成立

设hxxexalnxaxa，则hx0对x0,恒成立，

hxelnxexalnxaxaelnxxalnxxa

设lnxxt，tR，原问题转化为：tetata0对tR恒成立，

①若a0，当t,0时，tetata1ata，

则11a11aa1a0，不合题意；

②若a0，则tet0对tR恒成立，符合题意

③若a0，则teta，

令t0，tlna，令t0，tlna， 所以当t,lna时，t为减函数，

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当tlna,时，t为增函数， 所以tlnaelnaalnaaalna0，

即lna0，即0a1； 综上0a1.

【点睛】本题考查导函数研究函数单调性，极值，最值以及不等式恒成立问题，过程中使用了转化与化归的数学思想和分类讨论的数学思想，属于压轴题.

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