诱导公式的化简与求值20题
一．解答题（共20小题） 1．已知角α终边上一点P（﹣
，1）
（1）求的值
（2）写出角α的集合S．
2．已知角α的终边经过点P（，﹣）． （1）求sinα的值． （2）求式
3．已知角α终边上一点A的坐标为（1）求角α的集合（6分） （2）化简下列式子并求其值：
4．（1）已知tanα=2，求
的值
（6分）
，
﹣
的值
（2）已知cos（75°+α）=，其中﹣180°＜α＜﹣90°，求sin（105°﹣α）+cos（375°﹣α）的值．
5．已知α是第三象限角，且
（1） 化简f（α）； （2） 若
6．已知角α的终边上一点P（x，4），且cosα=﹣． （1）求x的值；
（2）求sin（α+π）的值；
（3）将角α的终边沿顺时针旋转π弧度得到角β，求sinβ的值．
，求f（α）的值．
7．已知
（1）化简f（α）
（2）若α是第三象限角，且
，求f（α）的值．
8．求值：①sin870°+cos660°+tan1215°﹣tan（﹣300°）+cot（﹣330°） ②
9．已知sin（3π+θ）=，求的值． 10．已知
（1）求sinx﹣cosx的值； （2）求
11．已知α是第四象限角，且（1）求tanα的值； （2）求
的值．
．
的值．
．
+．
12．已知 ．
①化简f（α）．
②若sinα是方程10x2+x﹣3=0的根，且α在第三象限，求f（α）的值． ③若a=
13．（1）已知（2）已知
14．已知f（α）=（1）化简f（α）；
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，求f（α）的值．
，求sinα﹣cosα的值．
且
，求cosα﹣sinα的值．
（2）若α是第三象限角，且cos（（3）若
15．已知f（a）=
（1）化简f（a）；
（2）若角a的终边经过点P（﹣2，3），求f（a）的值． 16．已知
（1）若α是第三象限角，（2）若
，求f（α）的值；
． ．
，求f（α）的值．
）=，求f（α+π）的值；
，求f（α）的值．
17．已知0＜α＜π，tanα=﹣2． （1）求sin（α+
）的值；
（2）求
（3）2sin2α﹣sinαcosα+cos2α
18．已知α是第三象限角，且f（α）=（1）化简f（α）；
（2）若tan（π﹣α）=﹣2，求f（α）的值； （3）若α=﹣420°，求f（α）的值．
的值；
．
19．已知．
（Ⅰ）化简f（α）；
（Ⅱ）若α是第三象限角，且
20．（1）已知
（2）已知α为第二象限角，化简
．
，计算：
，求f（α）的值．
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诱导公式的化简与求值20题
参考答案与试题解析
一．解答题（共20小题） 1．已知角α终边上一点P（﹣
，1）
（1）求的值
（2）写出角α的集合S．
考点： 任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值． 专题： 计算题．
分析： 先求出点P（﹣，1）到原点的距离，再由定义求出角α的三角函数值，
（1）先用诱导公式化简，再代入角α的三角函数值求值；
（2）写出角α的集合S，由于本题中的角是一个特殊角，故可以用终边相同的角将它表示出来．
解答：
解：点P（﹣，1）到原点的距离是2，由定义sinα=，cosα=﹣
（1）==﹣==﹣
（2）由sinα=，cosα=﹣故S={α|α=2kπ+
，k∈z}
知角α的终边与角的终边相同，故α=2kπ+，k∈z
点评： 本题考查任意角三角函数的定义以及终边相同角的表示，利用诱导公式化简求值，求解本题的关键是熟练
掌握定义与诱导公式，基础概念只有在掌握熟练得基础上才能正确运用它做题，不出错误．
2．已知角α的终边经过点P（，﹣）． （1）求sinα的值． （2）求式
﹣
的值
考点： 任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值． 专题： 计算题．
分析： （1）求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值．
（2）利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=，可得结果．
解答：
解：（1）∵|OP|=
∴点P在单位圆上．（2分） 由正弦函数的定义得
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，
sinα=﹣（5分） （2）原式==
..（10分）
（9分）
由余弦的定义可知，cosα=（11分） 即所求式的值为（12分）
点评： 本题考查任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，推理能力，是基础题．
3．已知角α终边上一点A的坐标为（1）求角α的集合（6分） （2）化简下列式子并求其值：
（6分）
，
考点： 三角函数的化简求值；终边相同的角；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用． 专题： 计算题．
分析： （1）根据角的终边过一个定点，根据三角函数的定义做出角的正弦值，根据角的终边在第四象限，写出与
角终边相同的所有的角的集合．
（2）首先用诱导公式进行整理，再把正割与余割变化成正弦与余弦的形式，约分整理出最简形式，得到结果．
解答：
解：（1）点P到原点的距离为r=
根据三角函数的定义，得…．（2分）
∵点P在第四象限，也就是角α在第四象限…．（4分） ∴α的集合是（2）原式=
…（6分）
…．（8分）
==﹣sinα=
点评： 本题考查三角函数的恒等变化求值即终边相同的角，本题解题的关键是先用诱导公式进行整理，再把正割与余割变化成正弦与余弦．本题是一个中档题目．
4．（1）已知tanα=2，求
的值
（2）已知cos（75°+α）=，其中﹣180°＜α＜﹣90°，求sin（105°﹣α）+cos（375°﹣α）的值．
考点： 同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值． 专题： 计算题．
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分析：
（1）利用诱导公式化简表达式，应用tanα=2求出
，代入化简后的表达式即可求出原式的值．
求出
（2）利用诱导公式化简sin（105°﹣α）+cos（375°﹣α），为2sin（75°+α），利用2sin（75°+α）即可．
解答：
解：（1）原式==∵∴
（6分），∴原式=（3分）
， （7分）
（2分）
（2）原式=sin（75°+α）+cos（15°﹣α）=2sin（75°+α）（9分） ∵
∴sin（75°+α）＜0∴故原式=
（14分）
，且﹣105°＜75°+α＜﹣15°，
（12分）
点评： 本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力，是基础题．
5．已知α是第三象限角，且
（1） 化简f（α）； （2） 若
，求f（α）的值．
考点： 运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系． 专题： 计算题．
分析： （1） 直接利用诱导公式化简f（α），应用正切化为正弦、余弦函数，推出结果；
（2） 求出出它的值．
解答：
解：（1）f（α）=
的最简形式，弦长f（α）的表达式，通过同角三角函数的基本关系式求
==
=
=﹣cosα
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（2）∵cos（∴sinα=﹣， ∵α是第三象限角， ∴cosα=﹣
=﹣
，∴f（α）=﹣cosα=
）=﹣sinα=，
点评： 本题是基础题，考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，常考题型．
6．已知角α的终边上一点P（x，4），且cosα=﹣． （1）求x的值；
（2）求sin（α+π）的值；
（3）将角α的终边沿顺时针旋转π弧度得到角β，求sinβ的值．
考点： 任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值． 专题： 计算题．
分析： （1）利用三角函数的定义，求出x的值；
（2）直接利用诱导公式化简sin（α+π），然后求出它的值；
（3）将角α的终边沿顺时针旋转π弧度得到角β，然后直接利用诱导公式，求sinβ的值．
解答：
解：（1）因为cosα=﹣，所以
，所以，x=﹣3；
（2）因为cosα=﹣，所以sin（α+π）=cosα=﹣； （3）将角α的终边沿顺时针旋转π弧度得到角β，
，sinβ=sin（
）=cosα=﹣．
点评： 本题是基础题，考查三角函数的定义，诱导公式的应用，考查计算能力．
7．已知
（1）化简f（α）
（2）若α是第三象限角，且
，求f（α）的值．
考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 计算题．
分析： （1）利用诱导公式化简f（α ）的结果为cosα．
（2）利用诱导公式求出sinα，再由同角三角函数的基本关系求出cosα，从而得到f（α）的值．
解答： 解：（1）
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==cosα．
（2）∵
又∵α为第三象限角，∴
，∴，∴
，
．
点评： 本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，化简f（α ）是
解题的突破口．
8．求值：①sin870°+cos660°+tan1215°﹣tan（﹣300°）+cot（﹣330°） ②
．
考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 计算题．
分析： ①先利用诱导公式：终边相同的角的三角函数值相等，将题中的角化到[0°，360°）上，再利用诱导公式将
其转化为锐角三角函数值即可
②先利用诱导公式化简所求三角式，再利用同角三角函数基本关系式化简即可
解答： 解：①sin870°+cos660°+tan1215°﹣tan（﹣300°）+cot（﹣330°）
=sin（720°+150°）+cos（720°﹣60°）+tan（﹣360°+60°）+cot（﹣360°+30°） =sin150°+cos（﹣60°）+tan60°+cot30° =sin30°+cos60°+tan60°+cot30°
=++=1+2②===
+
=
=﹣1
点评： 本题考查了诱导公式的运用和同角三角函数基本关系式的运用，细心和运用恰当的公式是解决本题的关键
9．已知sin（3π+θ）=，求
+
的值．
考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 计算题．
分析： 先根据诱导公式化简已知得到sinθ的值，然后把原式也利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简后，
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把sinθ代入求值即可．
解答：
解：∵sin（3π+θ）=﹣sinθ=， ∴sinθ=﹣， 原式=
+
=+=+====18．
点评： 此题要求学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本公式化简求值，做题的思路是把所有余弦都要化
成正弦．
10．已知
（1）求sinx﹣cosx的值； （2）求
的值．
．
考点： 运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系． 专题： 三角函数的求值．
分析： （1）利用同角三角函数基本关系式直接求出sinx和cosx的值，进而求出结果．
（2）先利用诱导公式化简所求的式子，将原式分子分母同除以cos2x，转化成tanx的表达式去解．
解答：
解：∵
sinx=﹣2cosx，又sin2x+cos2x=1，∴5cos2x=1， ∴（1）
（2）原式=
=…（12分）
点评： 本题考查同角三角函数基本关系式的应用和三角函数的诱导公式，计算要准确，属于中档题．
11．已知α是第四象限角，且（1）求tanα的值； （2）求
的值．
．
考点： 同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用． 专题： 计算题．
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分析：
（1）由题意知求出
，再求tanα的值．
（2）利用诱导公式，
．
解答： 解：（1）由题意知，
，
∴
；
等价转化为
（2）=
．
点评： 本题考查诱导公式的合理运用，解题时要认真审题，注意三角函数恒等变换的灵活运用．
12．已知 ．
①化简f（α）．
②若sinα是方程10x2+x﹣3=0的根，且α在第三象限，求f（α）的值． ③若a=
，求f（α）的值．
考点： 三角函数的化简求值；诱导公式的作用． 专题： 计算题． 分析：
①把f（α）的分子最后一项的角﹣α变为6π﹣（
+α），分母第一项的角3π+α变形为2π+（π+α），+α），然后各项利用诱导公式及正弦、余弦函数
第二项中的角变形为﹣（π+α），最后一项变形为4π+（的奇偶性进行化简，约分后即可得到最简结果；
②把已知的方程分解因式后，求出方程的两个解，由sinα是方程10x2+x﹣3=0的根，且α在第三象限，可得出sinα的值，代入第一问化简后的式子中，即可求出f（α）的值； ③把α的值变形为﹣6π﹣
，代入第一问化简后的式子中，利用诱导公式及正弦函数的奇偶性化简，再利
用特殊角的三角函数值即可求出f（α）的值．
解答：
解：①
=
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=
=﹣sinα；…（4分）
②由方程10x2+x﹣3=0，解得：又α在第三象限，∴则（3）当a=
时，
．…（12分）
点评： 此题考查了三角函数的恒等变形，涉及的知识有：正弦、余弦函数的奇偶性，诱导公式，函数的值，以及
特殊角的三角函数值，灵活变换角度，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
13．（1）已知（2）已知
且
，求cosα﹣sinα的值．
，求sinα﹣cosα的值．
，
；…（8分）
，
考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 计算题． 分析：
（1） 由题意得 sinα+cosα=
，平方可得 2sinαcosα=﹣，代入sinα﹣cosα=﹣=
﹣ 进行运算．
=﹣
，把已知条件代入运算． ，∴sinα+cosα=
，
（2）由题意得cosα﹣sinα=﹣
解答：
解：（1） 已知
1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣， ∴sinα﹣cosα=﹣（2）已知
，且=．
=﹣
=﹣．
=﹣
，cosα﹣sinα=﹣
点评： 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，判断所求式子的符号是解题的关键．
14．已知f（α）=（1）化简f（α）；
（2）若α是第三象限角，且cos（
）=，求f（α+π）的值；
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（3）若
，求f（α）的值．
考点： 诱导公式的作用． 专题： 三角函数的求值． 分析：
（1）利用诱导公式化简 f（α）=
，整理可得结果．
，再由f（α+π）=
（2）利用诱导公式求得 sinα=﹣，再利用同角三角函数的基本关系求得 cosα=﹣﹣cos（π+α）=cosα 求得结果．
（3）利用诱导公式可得f（α）=﹣cos（670π+
解答：
解：（1）f（α）=﹣cosα．
（2）若α是第三象限角，且cos（故﹣sinα=，sinα=﹣， ∴cosα=﹣
=﹣
．
．
=﹣cos（670π+
）=﹣cos
=﹣．
）=，
=
）=﹣cos
，计算求得它的值．
=
∴f（α+π）=﹣cos（π+α）=cosα=﹣（3）若
，则f（α）=﹣cos
点评： 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，同角三角函数的基本关系的应用，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．
15．已知f（a）=
．
（1）化简f（a）；
（2）若角a的终边经过点P（﹣2，3），求f（a）的值．
考点： 诱导公式的作用；任意角的三角函数的定义． 专题： 计算题．
分析： （1）利用三角函数的诱导公式即可求得f（a）；
（2）角a的终边经过点P（﹣2，3），利用任意角的三角函数的定义，可求得f（a）的值．
解答：
解：（1）∵sin（a﹣）=﹣cosa，cos（﹣a）=﹣sina，tan（7π﹣a）=﹣tana，tan（﹣a﹣5π）=﹣tan（5π+a）
=﹣tana，sin（a﹣3π）=﹣sina， ∴f（a）=
（2）∵a的终边经过点P（﹣2，3）， ∴cosa=﹣∴f（a）=
=﹣cosa；
=﹣．
，
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点评： 本题考查三角函数的诱导公式与任意角的三角函数的定义，掌握诱导公式是基础，属于基础题． 16．已知
（1）若α是第三象限角，（2）若
，求f（α）的值；
．
，求f（α）的值．
考点： 诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系． 专题： 三角函数的求值．
分析： 利用诱导公式化简f（α）得到最简结果，
（1）由α为第三象限，sinα的值小于0，得到cosα的值小于0，由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出f（α）的值；
（2）将α的度数代入f（α）中，利用诱导公式化简即可得到结果．
解答：
解：f（α）==﹣cosα，
（1）∵α是第三象限角，sinα=﹣＜0， ∴cosα＜0， ∴cosα=﹣则f（α）=﹣cosα=（2）将α=﹣
=﹣； 代入得：f（﹣
）=﹣cos（﹣
）=﹣cos（11π+
）=﹣cos（π+
）=cos
=．
，
点评： 此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
17．已知0＜α＜π，tanα=﹣2． （1）求sin（α+
）的值；
（2）求的值；
（3）2sin2α﹣sinαcosα+cos2α
考点： 同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用． 专题： 计算题．
分析： （1）由已知中0＜α＜π，tanα=﹣2，根据同角三角函数关系，我们可以求出sinα，cosα的值，代入两角和
的正弦公式，即可求出sin（α+）的值；
（2）利用诱导公式，我们可以将原式化为用α的三角函数表示的形式，弦化切后，tanα=﹣2，即可得到答案．
（3）根据sin2α+cos2α=1，我们可以将2sin2α﹣sinαcosα+cos2α化为齐次分式，弦化切后，代入tanα=﹣2，即可得到答案．
解答：
解：因为0＜α＜π，tanα=﹣2，所以sinα=
，cosα=
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（1）sin（α+（2）原式=
）=sinαcos
+cosαsin=
=
=﹣1
+（
）×=
（3）原式=
==
点评： 本题考查的知识点是同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和的正弦公式，其中（2）（3）中齐次分
式弦化切是三角函数给值求值中最常用的方法．
18．已知α是第三象限角，且f（α）=
．
（1）化简f（α）；
（2）若tan（π﹣α）=﹣2，求f（α）的值； （3）若α=﹣420°，求f（α）的值．
考点： 诱导公式的作用． 专题： 三角函数的求值．
分析： （1）直接利用诱导公式化简函数 f（α）为﹣cosα．
（2）由tan（π﹣α）=﹣2，求得tanα=2，再利用同角三角函数的基本关系求出cosα的值 即可求得f（α）=﹣cosα 的值．
（3）先利用诱导公式求得 cosα=cos（﹣420°）=，即可求得f（α）=﹣cosα 的值．
解答： 解：（1）f（α）
=
=
=﹣
cosα．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）∵tan（π﹣α）=﹣2，∴tanα=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
∵α是第三象限角，∴（3）∵
∴f（α）=﹣cosα=
，∴f（α）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ，
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于基础题．
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19．已知．
（Ⅰ）化简f（α）；
（Ⅱ）若α是第三象限角，且
，求f（α）的值．
考点： 诱导公式的作用；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 计算题．
分析： （Ⅰ）利用诱导公式对函数的解析式化简整理求得函数的解析式．
（Ⅱ）利用诱导公式整理求得sinα的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，代入函数的解析式求得答案．
解答：
解：（Ⅰ）
=（Ⅱ）∴sinα=﹣
=﹣sinα=
，
=tanα
∵α是第三象限角 ∴cosα=﹣∴f（α）=tanα=
=﹣
=2
点评： 本题主要考查了诱导公式的化简求值，同角三角函数的基本关系的应用．解题的关键是熟练掌握“奇边偶不变，正负看象限”的原则．
20．（1）已知
（2）已知α为第二象限角，化简
．
，计算：
考点： 诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系． 专题： 计算题．
分析： （1）将所求式子的分母1用sin2α+cos2α代替，然后分子分母同除以cos2α，
（2）利用诱导公式及三角函数关系式即可将化简，并求得
其值．
解答：
（1）解：∵
，cosα≠0，
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∴====；
（2）∵α为第二象限角， ∴
=
=
=﹣1．
点评： 本题考查三角函数的诱导公式及三角函数间的基本关系，关键是熟练掌握三角函数的诱导公式及三角函数
间的基本关系并灵活应用，属于中档题．
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