三角函数应用题

三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题．本文列举几个具体例子，供读者参考．

一、道路建设离不开三角函数（图祥见《高中生》杂志05年3期上半月刊学习辅导）

例１ 如图１所示，某城市有一条公路，从正西方沿ＡＯ通过市中心Ｏ后转向东北方向ＯＢ．现要修建一条铁路ｌ，在公路ＡＯ上设一站Ａ，在公路ＢＯ上设一站Ｂ，铁路为ＡＢ部分的 直线段，现在设市中心Ｏ与ＡＢ的 距离为１０公里．问：把Ａ、Ｂ分别设在公路上距市中心Ｏ多远处才能使｜ＡＢ｜最短？求最短距离．

解 设∠ＢＯＣ＝θ （０°＜θ ＜９０°），

则｜ＡＢ｜＝｜ＡＣ｜＋｜ＢＣ｜＝１０ ｔａｎ （１３５°－θ）＋１０ｔａｎθ ＝１０×＝１０×＝１０×?眼（ｔａｎθ －１）＋＋２?演≥１０×（２＋２）＝２０×（１＋）公里，且ｔａｎθ ＞１．

上式当且仅当ｔａｎθ －１＝即ｔａｎθ ＝１＋时，｜ＡＢ｜ｍｉｎ＝２０×（１＋）公里，此时，｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜＝１０×公里．

∴把Ａ、Ｂ两站设在距市中心Ｏ为１０×公里处时，｜ＡＢ｜最短，最短距离为２０×（１＋）公里．

二、工业生产离不开三角函数

例２ 一种球形糖果，半径为１ ｃｍ，其外包装为圆锥形，试设计这个圆锥的 高ｈ ｃ

ｍ以使所用外包装材料最省．（图祥见《高中生》杂志05年3期上半月刊学习辅导）

解 图２为球形糖果及其外包装的 轴截面图．设∠ＢＡＣ＝２θ（０°＜θ ＜４５°），则∠ＯＡＤ＝θ ，ＯＤ＝１ｃｍ，ＡＤ＝ｃｏｔθ ｃｍ，ＡＣ＝ ｃｍ ．

所用包装材料的 多少即圆锥的 表面积，设为Ｓ，则Ｓ＝πｃｏｔ２θ＋ πｃｏｔ２θ ×＝ πｃｏｔ２θ·（１＋）＝≥８π ｃｍ２．

当且仅当ｔａｎ２θ ＝１－ｔａｎ２θ即ｔａｎθ ＝时，上式取等号，Ｓ取最小值．

此时ｔａｎ２θ ＝＝２，圆锥的 高ｈ＝ＡＤ×ｔａｎ２θ ＝×２＝４ ｃｍ ．

所以，这个圆锥的 高设计为４ ｃｍ时，所用外包装材料最省．

三、最佳视角的 测定离不开三角函数

例３ 墙上有一幅画，上、下边缘分别高出一个人眼睛的 水平线ａ米和ｂ米，则此人应该站在离墙多远处才能收到最佳的 视角效果？

解 建立如图３的 直角坐标系，设画的 上边缘Ａ点的 坐标为（０，ａ），下边缘Ｂ点的 坐标为（０，ｂ）（其中ａ，ｂ为常数，ａ＞ｂ＞０），人的 位置Ｃ点坐标为（ｘ，０），且ｘ＞０．

∵ ｔａｎ∠ＡＣＯ＝，

又ｔａｎ∠ＢＣＯ＝，∴ｔａｎ∠ＡＣＢ ＝ ｔａｎ?穴∠ＡＣＯ－∠ＢＣＯ）＝＝，

当且仅当ｘ＝，即ｘ＝（ｘ＞０）时，ｔａｎ∠ＡＣＢ取得最大值．

而∠ＡＣＢ是锐角，它的 正切函数是增函数，当ｘ＝（ｘ＞０）时，∠ＡＣＢ也取得最大值，此时Ｃ点的 坐标是（，０），也就是说此人离墙米时，看画可以收到最佳的 视角效果．

四、物理计算离不开三角函数

（图祥见《高中生》杂志05年3期上半月刊学习辅导）

例４ 如图４所示，一滑雪运动员自ｈ＝５０ ｍ高处的 Ａ点滑至Ｏ点，由于运动员的 技巧（不计阻力），在Ｏ点保持速率ｖ０不变，并以倾角θ起跳，落至Ｂ点，令ＯＢ＝Ｌ ．试问，α ＝３０°时，Ｌ的 最大值为多少？当Ｌ取最大值时，θ为多大？

解 首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的 有关知识来解决实际问题．

由已知条件列出从Ｏ点飞出后的 运动方程：

ｓ＝Ｌｃｏｓα ＝ｖ０ ｔｃｏｓθ， ①ｈ′＝－Ｌｓｉｎα ＝ｖ０ ｔｓｉｎθ－ｇｔ２． ②

由①、②整理得ｖ０ ｃｏｓθ ＝，ｖ０ ｓｉｎθ ＝＋ｇｔ．

∴ ｖ＋ｇＬｓｉｎα ＝ｇ ２ｔ２＋≥２＝ｇＬ．

运动员从Ａ点滑至Ｏ点，根据机械能守恒有

ｍｇｈ＝ｍｖ，

∴ ｖ＝２ｇｈ，∴ Ｌ≤＝＝２００ ｍ，即Ｌｍａｘ＝２００ ｍ．

又ｇ ２ｔ２ ＝＝，

∴ ｔ ＝，

ｓ＝Ｌｃｏｓα ＝ｖ０ ｔｃｏｓθ ＝··ｃｏｓθ ．

∴ ｃｏｓθ ＝ｃｏｓα，∴θ ＝α ＝３０°，

∴ Ｌ的 最大值为２００ ｍ，当Ｌ最大时，起跳仰角为３０°．

例５ 如图５所示，在半径为Ｒ的 圆桌中央的 正上方挂一盏电灯，桌子边缘一点处的 照射亮度Ｉ和灯光射到桌子边缘的 光线与桌面的 夹角θ的 正弦成正比，角和这一点到光源的 距离ｒ的 平方成反比（Ｉ＝ｋ·，其中ｋ是一个和灯光强度有关的 常数）．那么怎样选择电灯悬挂的 高度ｈ才能使桌子边缘处最亮？

解 ∵Ｒ＝ｒｃｏｓθ，由此得＝（０＜θ ＜），则

Ｉ＝ｋ·＝ｋ·＝·ｓｉｎθ ｃｏｓ２θ ．

∴２Ｉ ２＝（）２·２ｓｉｎ２θ·（１－ｓｉｎ２θ）（１－ｓｉｎ２θ）≤（）２×（）

３，由此得Ｉ≤×，等号在ｓｉｎθ ＝时成立，此时ｈ＝Ｒｔａｎθ ＝Ｒ．

∴电灯悬挂的 高度ｈ为Ｒ时，桌子边缘最亮。