2017-2018学年江苏省南通市如皋市高二（下）期中数学试卷（理
科）
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则（∁UA）∩B= ． 2．（5分）“
”是
的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、
“充要”、“既不充分也不必要”）
3．（5分）函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为 ． 4．（5分）若函数
则满足f（a）=2的实数a的值为 ．
5．（5分）已知9a=3，logax=2a（a∈R），则正实数x的值为 ．
6．（5分）设函数y=2x+2﹣x﹣a的值域为A，若A⊆[0，+∞），则实数a的取值范围是 ．
7．（5分）函数f（x）=x•ex（e为自然对数的底）的最小值为 ． 8．（5分）已知直线y=kx是曲线y=ex（e为自然对数的底）的一条切线，则实数k的值为 ．
9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣5x+2lnx在区间（m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是 ．
10．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x在[﹣1，m]上的值域为[﹣2，2]，则实数m的取值范围是 ． 11．（5分）已知定义在（x）＞cosx•f'（x），记大的顺序为 ． 12．（5分）已知函数的解集为 ．
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上的函数y=f（x）的导函数为f'（x），若sinx•f
，则a，b，c由小到
，则不等式f（1﹣x2）+f（5x﹣7）＞0
13．（5分）已知函数若存在实数t使f（x）的值
域是[﹣1，1]，则实数a的取值范围是 ．
14．（5分）已知函数f（x）在R上单调递增，且对于任意的实数x都有f（f（x）﹣ex﹣x）=e﹣2﹣4成立，若y=f（x）的零点所在的区间是（n，n+1），则整数n的值为 ．
二、解答题（本大题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知命题p：“∀x∈R，x2+a≥0“，命题q：“∃x∈[﹣1，0]，x2+2x+a＜0“．若命题“p∧q”是假命题，且p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．
16．已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足：f（x）+g（x）=lg（x﹣1）2．
（1）求函数f（x）和g（x）的解析式； （2）解关于x的不等式f（x）＜0． 17．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a． （1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
18．有一边长为4百米的正方形生态休闲园ABCD，其中EHFCD为观景湖（注：EHF为抛物线的一部分）．观景湖顶点H到边AB的距离为百米，
百
米，为了观景方便，计划修一条直路GP，G在线段AB上，GP与抛物线HF段相切于点P．设点P到直线AB的距离为t百米．
（1）求GP关于t的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）若路GP每百米造价m元，则t为何值时，路GP造价最低．
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19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足：f（1﹣x）=f（1+x），且不等式f（x）＞4x的解集为（﹣3，1）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设g（x）=f（x）﹣mx+m．
①若g（x）在区间[0，1]上的最大值为5，求实数m的值；
②若h（x）=|g（x）|在区间[0，1]上单调递减，求实数m的取值范围． 20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）当x=1时f（x）取得极值，求实数a的值；
（2）设g（x）=f（x）﹣3a2x2，求函数y=g（x）的单调区间；
（3）设函数h（x）=ex﹣2（e为自然对数的底），当a=0时，求证：h（x）＞f（x）． 21．已知矩阵A=
，列向量
，B=
，若AX=B，求A﹣1和X．
，
22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的极坐标方程为若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．
23．现有A，B两个盒子，A盒中装有4个白球，2个黑球，B盒中装3个白球，3个黑球．
（1）从A盒中有放回地抽取3个球，球恰有1个黑球的概率；
（2）从A，B两个盒子中各随机抽取2个球，记“黑球的个数为X”，求X的分布列和数学期望E（X）． 24．已知函数
．
（1）求函数f（x）的单调区间； （2）解关于x的不等式：f（x）＜1．
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2017-2018学年江苏省南通市如皋市高二（下）期中数学
试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则（∁UA）∩B= {3，4} ．
【分析】根据补集与交集的定义，计算即可．
【解答】解：全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3，4}， 则∁UA={3，4}，
∴（∁UA）∩B={3，4}． 故答案为：{3，4}．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
2．（5分）“
”是
的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”、“必
要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数，从而得到答案． 【解答】解：当α=当cosα=时，α=∴“
”是
，则cosα=，
+2kπ或α=π+2kπ，k∈Z， 的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了三角函数值，是一道基础题．
3．（5分）函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为 （﹣∞，1） ．
【分析】由函数的解析式可得 1﹣x＞0，解得x＜1，从而得到函数的定义域． 【解答】解：由函数f（x）=lg（1﹣x）可得 1﹣x＞0，解得x＜1， 故函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为 （﹣∞，1），
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故答案为 （﹣∞，1）．
【点评】本题主要考查求对数函数的定义域，属于基础题．
4．（5分）若函数则满足f（a）=2的实数a的值为 ﹣1 ．
【分析】当x＞0时，f（a）=1，不成立；当x≤0时，f（a）=（）a=2，解得a=﹣1．由此能求出满足f（a）=2的实数a的值． 【解答】解：∵函数
，满足f（a）=2，
∴当x＞0时，f（a）=1，不成立；
当x≤0时，f（a）=（）a=2，解得a=﹣1． ∴满足f（a）=2的实数a的值为﹣1． 故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（5分）已知9a=3，logax=2a（a∈R），则正实数x的值为 【分析】根据对数的定义即可求出． 【解答】解：∵9a=3， ∴a=
∵logax=2a（a∈R）， ∴x=a2a=（）1=， 故答案为：
【点评】本题考查了对数的运算，属于基础题．
6．（5分）设函数y=2x+2﹣x﹣a的值域为A，若A⊆[0，+∞），则实数a的取值范
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．
围是 （﹣∞，2] ．
【分析】利用基本不等式求出函数y=2x+2﹣x﹣a的值域A，结合A⊆[0，+∞）可得2﹣a≥0，则实数a的范围可求．
【解答】解：函数y=2x+2﹣x﹣a的值域为A． ∵2x+2﹣x≥2
=2，
∴值域为A=[2﹣a，+∞）． 又∵A⊆[0，+∞）， ∴2﹣a≥0， 即a≤2．
故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】本题考查函数的值域及其求法，考查两集合间关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
7．（5分）函数f（x）=x•ex（e为自然对数的底）的最小值为 ﹣ ． 【分析】求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，可得极小值f（﹣1），且为最小值．
【解答】解：函数f（x）=x•ex的导数为f′（x）=（x+1）ex， 当x＞﹣1时，f′（x）＞0，可得f（x）递增； 当x＜﹣1时，f′（x）＜0，可得f（x）递减． 可得x=﹣1处，f（x）取得极小值，且为最小值， 可得f（﹣1）=﹣， 故答案为：﹣．
【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，判断单调性和极值，考查运算能力，属于基础题．
8．（5分）已知直线y=kx是曲线y=ex（e为自然对数的底）的一条切线，则实数k的值为 e ．
【分析】根据函数f（x）的解析式设出切点的坐标（m，em），根据设出的切点
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坐标和原点求出切线的斜率，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，两次求出的斜率相等列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，进而得到切点坐标，切线的斜率k． 【解答】解：设切点坐标为（m，em）， 又切线过（0，0），得到切线的斜率k=
，
又f′（x）=ex，把x=m代入得：斜率k=f′（m）=em， 则em=
，由于em＞0，则得到m=1，
即切点坐标为（1，e），切线的斜率k=e， 故答案为：e．
【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程，注意要区别在某点处的切线，解题的关键是确定切点，本题是一道基础题．
9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣5x+2lnx在区间（m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是 ．
【分析】利用导数求出函数f（x）的单调递减区间，然后将问题转化为区间（m，m+1）为函数f（x）单调递减区间的子集，从而列不等式组求出实数m的取值范围．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 对函数f（x）求导得
令f′（x）＜0，得2x2﹣5x+2＜0，解得
， ，
由于函数f（x）=x2﹣5x+2lnx在区间（m，m+1）上单调递减， 则解得故答案为：[
，
]．
，所以
，
【点评】本题考察函数的单调性与导数，关键在于将函数的单调性进行转化，属于中等题．
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10．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x在[﹣1，m]上的值域为[﹣2，2]，则实数m的取值范围是 [1，2] ．
【分析】求出原函数的导函数，得到原函数的单调区间，画出图象，数形结合得答案．
【解答】解：由f（x）=x3﹣3x，得f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）． 当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0， 当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；单调减区间为（﹣1，1）． 作出函数的大致图象如图，
由图可知，当x∈[﹣1，1]时，f（x）为减函数，且f（x）∈[﹣2，2]， 当x∈[2，+∞）时，f（x）为增函数，而f（2）=2． ∴实数m的取值范围是[1，2]． 故答案为：[1，2]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，是中档题．
11．（5分）已知定义在（x）＞cosx•f'（x），记大的顺序为 b＜c＜a ．
上的函数y=f（x）的导函数为f'（x），若sinx•f
，则a，b，c由小到
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【分析】根据题意，设g（x）=cosx•f（x），x∈题意分析可得g（x）=cosx•f（x）在区间（﹣（﹣（
）=2[cos（﹣）]=2g（
），c=
）×f（﹣f（
，
，求出其导数，结合）上为减函数，又由a=f），b=f（）]=2g（
）=2[cos
×f
）]=2g（﹣
f（
）=2[cos），结合单调性分
析可得答案．
【解答】解：根据题意，设g（x）=cosx•f（x），x∈
，
其导数g′（x）=cosx•f′（x）+（cosx）′f（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x）， 又由f（x）满足sinx•f（x）＞cosx•f'（x）， 则g′（x）＜0，
则g（x）=cosx•f（x）在区间（﹣又由a=f（﹣b=f（c=
f（
）=2[cos（﹣
×f（f（，
，
）上为减函数，
）]=2g（﹣
），
）×f（﹣
）， ），
）=2[cos）=2[cos
）]=2g（）]=2g（
又由函数在区间（﹣则b＜c＜a；
故答案为：b＜c＜a．
）上为减函数，
【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是设出新的函数g（x），并分析g（x）的单调性．
12．（5分）已知函数的解集为 （2，3） ．
【分析】根据题意，由奇函数的定义分析可得f（x）为奇函数，再求出函数的导数，分析可得f（x）为增函数，进而分析原不等式等价于1﹣x2＞7﹣5x，解可得x的取值范围，即可得答案．
，则不等式f（1﹣x2）+f（5x﹣7）＞0
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【解答】解：根据题意，函数
=x﹣sinx+2x﹣2﹣x，
则f（﹣x）=（﹣x）﹣sin（﹣x）+2﹣x﹣2x=﹣（x﹣sinx+2x﹣2﹣x），则函数f（x）为奇函数，
又由f′（x）=1﹣cosx+2xln2+
＞0，则函数f（x）为增函数；
则f（1﹣x2）+f（5x﹣7）＞0⇒f（1﹣x2）＞﹣f（5x﹣7）⇒f（1﹣x2）＞f（7﹣5x）⇒1﹣x2＞7﹣5x， 解可得：2＜x＜3，
即x的取值范围为（2，3）； 故答案为：（2，3）．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数f（x）的奇偶性与单调性．
13．（5分）已知函数若存在实数t使f（x）的值
域是[﹣1，1]，则实数a的取值范围是 （1，1+] ．
【分析】分别求出两段函数的值域，结合已知条件可得关于a的不等式，求解得答案．
【解答】解：由已知得t≤1， 函数f（x）=
在[﹣1，t]上为增函数，故其值域为[﹣1，
]；
函数f（x）=﹣2（x﹣1）2在（1，a]上为减函数，故其值域为[﹣2（a﹣1）2，0）． ∵﹣2（a﹣1）2≤0，
∴若存在实数t使f（x）的值域是[﹣1，1]， 则t=1，且﹣2（a﹣1）2≥﹣1，解得又a＞1，
∴实数a的取值范围是（1，1+故答案为：（1，1+
．
]．
]．
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【点评】本题考查分段函数的值域及其求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
14．（5分）已知函数f（x）在R上单调递增，且对于任意的实数x都有f（f（x）﹣ex﹣x）=e﹣2﹣4成立，若y=f（x）的零点所在的区间是（n，n+1），则整数n的值为 0 ．
【分析】设t=f（x）﹣ex﹣x，先求出函数的解析式，再根据函数零点存在定理即可求出．
【解答】解：设t=f（x）﹣ex﹣x，
则f（x）=ex+x+t，则条件等价为f（t）=e﹣2﹣4， 令x=t，则f（t）=et+2t=e﹣2﹣4， ∵函数f（x）为单调递增函数， ∴函数为一对一函数，解得t=﹣2， ∴f（x）=ex+x﹣2，
∵f（0）=1+0﹣2=﹣1＜0，f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0， ∴f（0）f（1）＜0，
∴函数零点所在的区间为（0，1），
又y=f（x）的零点所在的区间是（n，n+1）， 则n=0， 故答案为：0
【点评】本题考查了函数解析式的求法和函数零点存在定理，属于中档题．
二、解答题（本大题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知命题p：“∀x∈R，x2+a≥0“，命题q：“∃x∈[﹣1，0]，x2+2x+a＜0“．若命题“p∧q”是假命题，且p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．
【分析】根据题意，分析可得p、q为真命题时，a的取值范围，进而分析可得p和q一真一假，据此分2种情况讨论，求出a的范围，综合即可得答案． 【解答】解：若p为真，即a≥（﹣x2）max=0，所以a≥0；
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若q为真，即a＜（﹣x2﹣2x）max，当x∈[﹣1，0]时，（﹣x2﹣2x）max=1所以a＜1，
因为“p∧q”是假命题，且“p∨q”是真命题， 所以p和q一真一假， （1）p真q假：a≥1， （2）p假q真：a＜0；
综上：a的取值范围是（﹣∞，0）∪[1，+∞）
【点评】本题考查复合命题真假的判定，关键是分析p、q为真命题时，a的取值范围．
16．已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足：f（x）+g（x）=lg（x﹣1）2．
（1）求函数f（x）和g（x）的解析式； （2）解关于x的不等式f（x）＜0．
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质，建立方程组，利用方程组法进行求解即可． （2）根据对数函数的性质建立不等式关系进行求解即可． 【解答】解：（1）f（x）+g（x）=lg（x﹣1）2=2lg（1﹣x） ① 将上式中x替换为﹣x得：f（﹣x）+g（﹣x）=2lg（1+x）， 因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数， 所以﹣f（x）+g（x）=2lg（1+x） ② 将①②联立解得：
，
（2）原不等式等价于解得：0＜x＜1，
所以原不等式的解集为（0，1）．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键．
17．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a．
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（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围． 【分析】（1）求出函数的导数，列表，即可得到函数的极值； （2）根据函数的极值的关系，即可求出a的范围． 【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣2x﹣1， 令f′（x）=0解得列表
x f'（x） f（x） ∴当（2）当一个零点， 综上，
或a＞1．
+ ↑ 取得极大值
，
1 0 极小值 （1，+∞） + ↑ 0 极大值 ﹣ ↓ ，当x=1，取得极小值f（1）=a﹣1；
或f（1）=a﹣1＞0，a＞1时函数只有
＜0，解得a＜﹣
【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，转化思想，考查函数的零点问题，是一道综合题．
18．有一边长为4百米的正方形生态休闲园ABCD，其中EHFCD为观景湖（注：EHF为抛物线的一部分）．观景湖顶点H到边AB的距离为百米，
百
米，为了观景方便，计划修一条直路GP，G在线段AB上，GP与抛物线HF段相切于点P．设点P到直线AB的距离为t百米．
（1）求GP关于t的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）若路GP每百米造价m元，则t为何值时，路GP造价最低．
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【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，表示出点H、F的坐标，求出抛物线的解析式；设切点P，利用导数求出斜率，写出切线方程，求出点G的坐标，利用勾股定理求出PG2，从而得出GP关于t的函数解析式f（t），并写出t的取值范围；
（2）根据f（t）的解析式，构造函数取得最小值时对应的t即可． 【解答】解：（1）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴， 建立平面直角坐标系如图所示；
则点H（0，），F（2，），
设抛物线的解析式为y=ax2+，a＞0； 则代入点F的坐标，得4a+=
，解得a=，
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∴抛物线解析式为y=x2+，x∈[﹣2，2]； 设切点为P（x0，t），其中x0=则y′=x，
∴切线方程为y﹣t=x0（x﹣x0）， 令y=0，得x=x0﹣∴G（x0﹣∴PG2=t2+
，0）；
=t2（1+
）=t2（1+
），
；
；
∴GP关于t的函数解析式为f（t）=，t∈（，]；
（2）∵f（t）=，
∴f2（t）=t2（1+
，
设g（t）=t2（1+
），t∈（，]；
∴g′（t）=2t+，
令g′（t）=0，解得t=∴t=
；
时，g（t）取得最小值，
∴f（t）取得最小值，此时路GP的造价最低．
【点评】本题考查了二次函数模型的应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是综合题．
19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足：f（1﹣x）=f（1+x），且不等式f（x）＞4x的解集为（﹣3，1）． （1）求函数f（x）的解析式；
第16页（共22页）
（2）设g（x）=f（x）﹣mx+m．
①若g（x）在区间[0，1]上的最大值为5，求实数m的值；
②若h（x）=|g（x）|在区间[0，1]上单调递减，求实数m的取值范围． 【分析】（1）求出函数的对称轴，列出方程，利用不等式f（x）＞4x的解集为（﹣3，1），列出方程组，求出a，b，c即可求解函数f（x）的解析式； （2）①求出函数g（x）的解析式，找出对称轴方程，然后分类求解m值； ②把h（x）=|g（x）|在区间[0，1]上单调递减，转化为求解不等式组得答案．
【解答】解：（1）二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（1﹣x）=f（1+x）， 可知函数的对称轴为：x=1，可得﹣
=1…1°，
或
，
不等式f（x）＞4x的解集为（﹣3，1）， 可得9a﹣3b+c=﹣12…2°，a+b+c=4…3°， 联立1°、2°、3°，可得a=﹣1，b=2，c=3． 函数f（x）的解析式：f（x）=﹣x2+2x+3；
（2）①g（x）=f（x）﹣mx+m=﹣x2+2x+3﹣mx+m=﹣x2+（2﹣m）x+m+3， 其对称轴方程为x=1﹣，
若1﹣≤0，即m≥2，得g（x）max=g（0）=m+3=5，得m=2； 若1﹣≥1，即m≤0，得g（x）max=g（1）=4，不合题意； 若0得
解得m∈∅． ∴实数m的值为2；
②h（x）=|g（x）|=|﹣x2+（2﹣m）x+m+3|， 其对称轴方程为x=1﹣，
若使h（x）=|g（x）|在区间[0，1]上单调递减，
，即0＜m＜2，
，
第17页（共22页）
则或，即或．
解得m≥2．
∴实数m的取值范围是[2，+∞）．
【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查利用函数的单调性求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．
20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）当x=1时f（x）取得极值，求实数a的值；
（2）设g（x）=f（x）﹣3a2x2，求函数y=g（x）的单调区间；
（3）设函数h（x）=ex﹣2（e为自然对数的底），当a=0时，求证：h（x）＞f（x）． 【分析】（1）f′（x）=a+（x＞0），由题意知：f′（1）=a+1=0，解得：a． （2）g（x）=f（x）﹣3a2x2=ax+lnx﹣3a2x2，定义域（0，+∞）．g′（x）=对a分类讨论，即可得出单调区间．
（3）a=0时，u（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣2﹣lnx，u′（x）=ex﹣2﹣在（0，+∞）上单调递增，而=0=（x0）=
﹣
＜0，u′（2）＞0，可得：存在x0∈
，使得u′（x0）
，
，且x0﹣2=﹣lnx0．可得函数u（x）在x0处取得极小值，证明u﹣lnx0=
+x0﹣2＞0即可．
【解答】解：（1）f′（x）=a+（x＞0）， 由题意知：f′（1）=a+1=0，解得：a=﹣1． ∴f′（x）=﹣1+=
，
可知：x=1时函数f（x）取得极大值，因此满足题意． ∴a=﹣1．
（2）g（x）=f（x）﹣3a2x2=ax+lnx﹣3a2x2，定义域（0，+∞）． g′（x）=a+﹣6a2x=
，
①a=0时，g′（x）=＞0，因此函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．
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②a≠0时，g′（x）=
a＞0时，令g′（x）=0，解得x=可得：
．
．
时，g′（x）＞0，函数g（x）此时单调递增；x时，g′（x）
＜0，函数g（x）此时单调递减． a＜0时，令g′（x）=0，解得x=﹣可得：
．
，g′（x）＜0，函数g（x）此时单调递减；x＞﹣
时，g′（x）＞0，函数g（x）此时单调递增．
综上可得：①a=0时，因此函数g（x）在（0，+∞）上单调递增． ②a≠0时，a＞0时，函数g（x）的单调递增区间是调递减区间是
．
；函数g（x）的单调递增区间
；函数g（x）的单
a＜0时，函数g（x）的单调递减区间是是
．
（3）证明：a=0时，u（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣2﹣lnx， u′（x）=ex﹣2﹣在（0，+∞）上单调递增， ∵
=
﹣＜0，u′（2）=＞0，
，使得u′（x0）=0=
﹣
，∴x0﹣2=﹣lnx0．
∴存在x0∈
∴函数u（x）在x0处取得极小值， u（x0）=
﹣lnx0=
+x0﹣2． ．
上单调递增，∴v（t）＞
=
﹣＞0．
令v（t）=et+t，t∈∴v（t）在t∈
∴u（x）=h（x）﹣f（x）＞0， ∴h（x）＞f（x）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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21．已知矩阵A=，列向量，B=，若AX=B，求A
﹣1
和X．
【分析】记
1
，则
，由AX=B，得X=A﹣1•B，由此能求出A﹣
和X．
，
【解答】解：记
=
∴X=A﹣1•B=
，
=．
【点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法，考查矩阵方程的求法，考查逆矩阵、矩阵方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的极坐标方程为若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．
2【分析】求出曲线C：x2+（y﹣1）=1，直线l：
，
=0，直线l与圆C相切，
从而圆心（0，1）到直线l的距离d=r，由此能求出m． 【解答】解：∵曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ， ∴曲线C：x2+（y﹣1）2=1， ∵直线l的极坐标方程为即∴直线l：
=m， =0，
，
∵直线l与曲线C只有一个交点，∴直线l与圆C相切， ∴圆心（0，1）到直线l的距离d=r，即d=解得：
或m=
．
=1，
【点评】本题考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
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23．现有A，B两个盒子，A盒中装有4个白球，2个黑球，B盒中装3个白球，3个黑球．
（1）从A盒中有放回地抽取3个球，球恰有1个黑球的概率；
（2）从A，B两个盒子中各随机抽取2个球，记“黑球的个数为X”，求X的分布列和数学期望E（X）．
【分析】（1）记“恰有1个黑球”为事件C．利用相互独立事件概率计算公式即可得出．
（2）X的可能取值为：0，1，2．利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出． 【解答】解：（1）记“恰有1个黑球”为事件C． 则（
2
）
X
（或列式为的
可
能
取
值
为
． ：
0
，．
X的分布列为：
X P 0 1，2.
1 2 ．
【点评】本题考查了相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式及其分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．已知函数
．
（1）求函数f（x）的单调区间； （2）解关于x的不等式：f（x）＜1．
【分析】（1）根据题意，求出函数的定义域，求出其导数，分析可得f′（x）≤0在定义域上恒成立，结合函数的导数与函数单调性的关系，分析可得答案； （2）根据题意，分x＜﹣1与x＞﹣1两种情况讨论，结合函数的单调性分析f（x）＜1的解集，综合即可得答案．
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【解答】解：（1）根据题意，函数其导数f′（x）=+∞）上恒成立
，分析可得
，其定义域为{x|x≠﹣1}
（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，
所以f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞），无增区间． （2）根据题意，分2种情况讨论： ①，当x＜﹣1时，
恒成立，即满足f（x）＜﹣1；
②，当x＞﹣1时，f（0）=1，所以f（x）＜1=f（0），
又因为f（x）在（﹣1，+∞）单调递减，所以f（x）＜1的解集为（0，+∞） 综上：f（x）＜1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，注意分析函数的定义域．
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