摘 要：本文首先主要介绍了微分中值立理的内容及英预备定理，再讨论微分中值左理 之间
的联系，以及左理从有限区间到无限区间的推广，最后以具体实例说明微分中值立理在 等式、不等式的证明、极限的求解问题、方程根的存在性等解题中的应用。在微分中值泄理 的研究及有关命题的证明之中，往往需要构造适当的辅助函数，来实现数学问题的等价转化。 然而如何寻找到合适的函数是比较困难的，在本文中，通过三个定理的证明及有关例题会着 重给出通过构造辅助函数来解决中值左理问题。
关键词：微分中值立理：罗尔中值左理：拉格朗日中值圧理：柯西中值左理；联系； 应用
Abstract: Firstly, the paper introduces three differential mean value theorems and the preparation theorem for them, then discusses the connection between the three theorems, and generalizes the theorems from limited interval to infinite interval At the end of this paper we use a series of examples, such as: the proving of the equality or inequality, the computing of the limit, the existence of the equation root and so on, to explain the application of the differential mean value theorems・ In the research of differential mean value theorem and the related propositions. We often need construct a suitable auxiliary function to make the problem satisfies the conditions of the differential mean value theorem ・ but it is difficult to construct the auxiliary function .In this paper, well focus on how to construct the suitable auxiliary function to solving the problem by using differential mean value theorem.
Key words: Differential mean value theorem; Rolle mean value theorem; the Lagrange mean value theorem; the Cauchy mean value theorem; connection; application・
通过数学分析的学习，我们知道微分中值定理是一个非常重要的基本定理， 其主要包括罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy) 中值定理等一系列基本定理。微分中值定理是沟通函数与其导数之间的桥梁，是 讨论怎样山函数的导数的已知性质来推断函数所具有的性质的重要的数学工具。 对于整块微积分的学习，中值定理在所有的定理中是最基本的定理，也是构成数 学分析理论基础知识的一项非常重要的内容。因为其不仅揭示了函数整体与局部 的关系，而且也是微分学理论应用的基础。
第1贞(共14贞)
1微分中值定理的内容、证明过程及联系
1. 1罗尔(Rolle)中值定理山 1.1.1罗尔定理
若函数.f(x)满足如下条件： (i) (ii) (iii)
/⑴在闭区间上连续；
.f(x)在开区间(a,b)上可导；
=
则在上(a,b)至少存在一点§ , 使得
八纟)=0・
1. 1.2罗尔定理的证明
证 因为/⑴在上连续，所以有最大值与最小值，分别用M、川表示, 现在分两种情况讨论：
若= M，则广匕)在［eb］上必为常数，从而结论显然成立。
若m 1.1.3罗尔定理的几何意义 在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少 存在一条水平切线。 1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理山 1.2.1拉格朗日中值 若函数/Cr)满足如下条件： (i) /⑴在闭区间［a,b］上连续； 第2贞(共14贞) (ii) /(兀)在开区间(a,b)上可导; 则在(a,b)上至少存在一点f , 使得 b-a 显然，当f(a) = f(b)时，此结论为拉格朗日中值定理的一种特殊的情况。 1.2.2拉格朗日中值定理的证明 证作辅助函数 F(Q = /W-f(a) ----------- ----- (x 一 a) b-a 其中弘)二恥)=0 ,且在F(x)在⑺上］上满足罗尔定理的其他的两个条件，所以・ F《) = f(§)- ⑷=0. b-a 则可以证明在(aE)上至少存在一点纟，使得 心世严. b-a 1.2.3拉格朗日中值定理的几何意义 在满足定理条件的曲线y = /(M上至少存在一点 的切线平行于曲线两端点的连线。 1.3柯西(Cauchy)中值定理山 P(gJ©) 1.3.1柯西中值定理 设函数/(x)和g(x)满足 (i)在闭区间匕“上都连续; (ii)在开区间(ad)上都可导; 第3贞(共14贞) 3^ e ab)、S・t，该曲线在该点处 (iii) (iv) f W和g(Q不同时为0； , 3(^ e (a.b).S.t. g(d)Hge) g(§) g(b) - g(a) 1.3.2柯西中值定理的证明 证作辅助函数 /⑹一/⑷ (g(x)-g(a)) g(b)-g(a) 易F(x)见在［a,切上满足罗尔定理条件，故 曲e(a,b),使得 g(b) - g(a) 因为g《)H0,所以 g (§) 1.3.3柯西中值定理的几何意义 g(〃) — g(d)・ 满足定理条件的由u = g(x\\v = f(x\\所确定的曲线上至少有一点，曲线的切 线平行两端点连线。 1.4微分中值定理之间的联系 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，三个定理的儿何意义有 一个共同点：在满足定理条件的函数曲线上至少有一点的切线平行于曲线在区间 上两端点的连线。 在三个微分中值定理之中，我们可以发现，罗尔定理是拉格朗日中值定理的 特例，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广；拉格朗日中值定理乂是柯西中值定 理的特例。因为，在罗尔定理中删掉条件f(a) = f(b),即得到拉格朗日中值定理, 在拉格朗日中值定理中增加 则可以得到罗尔定理；在柯西中值定理 中令 得到拉格朗日中值定。 gM = x. 总之，这三个中值定理既相互独立乂相互联系。其中，拉格朗日中值定理是 核心，罗尔定理是特殊情况，柯西定理是推广。 第4贞(共14贞) 2微分中值定理的推广 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，这三个定理都要求函数 /匕）在⑺切上是连续，在（亿“）内部是可导的。若我们把定理中的有限闭区间 ⑺血推广到无限区间（-oo,+oo）或［心3）；再把有限开区间（a,历推广到无限区间 （-s,+s）或（a,+s）的话，那么上面的那些定理是否还是成立的，若不成立，是否 可以得出新的结论，乂可以得出哪些结论？ 通过学习与研究，我们知道，中值定理推广到无限区间可以得到儿个相应的 定理，本文在此只提到其中的三个，下面是给岀的定理及证明。 定理2.1若/⑴在［\）上连续，在（aS 内可导，且 则至少存在一点歹e （d,+s）,使 即可以得到关于函数 当xw[“, + s)时，贝iJre(O,l],即 lin? g(f) = li巴 /(0(f)) = lim f(x) = f(a) = /(^(l)) = g(l)・ 又 g(O) = lijjg(/). ATO 所以 g(O) = g(l). 所以在g(/)在［0,1］上连续，在内(0,1)可导，且g(O) = g(l).由罗尔定理可得至少有一 点£已(0,1),使得 g(£) = 0. 第5贞（共14贞） 令纟=0(£),有/(§)0(£)= 0,而0(£)= —• £~ 所以，至少存在一点§e(d,+s),使得 f(§) = 0. 定理2. 2 在［砧8)上连续，在(-O0,+O0)内可导，并且 lim A->-oc f(x) = lim f(x) 至少存在一点(-s,+s),使得 注 定理2. 2的证明可以参照定理2.1. 定理2. 3若/(x)在k，*o)上连续，在［站8)内可导，并且lim f (x) = m X->-rfD 则至少存在一点纟已(d,+S),使得 / -(歹 + 1-*・ 证 令—1 —=r,则¥ = ］+a-l. x-a+\\ t 即可以得到关于t的参数函数 第6贞(共14贞) (pit) = _ + a _ 1 当xw[a,+s)时，贝iJre(0,l] 即 傾 1) = a Jim(p(t) = +s, f->0 再令 所以 liin g⑴=lim(p(t) = lim f(x) = m. r->0 /-M) .V->-KC 乂因为 g(0) =吧 gg. 所以g\"）在［0,1］上连续，在（0,1）内可导，由拉格朗日中值定理得, 至少存在一点0£（0,1乂使 g «)= g(l)-g(0) 1-0 g £) = /(\")-心 令§ = W 有g (刃=/ (§)0(£), 而 0（£）= _丄=_（§ + 1_0）2, £- 至少存在一点4 e（67,4-00）,使得 m-f(a) 忆+ 1F 3微分中值定理的应用 我们知道微分中值定理有着非常广泛的应用，其常用来证明可导函数的某些 等式与不等式、判断可导函数在给定区间内根的存在性及根的个数、证明函数在 区间上的某些整体性质，如单 第7贞（共14贞） 调性、有界性、一致连续性、零点等。现在我们来 用具体的实例来说明微分中值定理的具体运用。 3. 1利用定理证明方程根(零点)的存在性 例3.汁】设/(切在【⑦切上非负且三阶可导，方程/(x) = 0,在(恥)内有两 个不同实根，证明：存在使 厂⑷\" 证 设在⑺小)内两个不同的实根为西<尤2，即 /(^) = /(^2)= 0- 由罗尔定理，存在ceix.x.),使得 /(c) = 0. 因为/(x)>0,从而召，召为/(切的极小值点，由费马定理 :.f'(x}) = f\\x2) = 0. 由⑴、(2)对fa)在kdkg］上使用罗尔定理，则存在 X3€(XPC), X4 e (c,x2), = f (x4) = 0. 再一次对八X)在氐xj上使用罗尔定理， 3^e(x3,x4)cz @,b),彳好\"'(§) = 0. 例3.2【习 设/⑴在上有三阶导数，试证：#e(ab),S・F. f(b) = f (a)+ ^(b-a)(f'(a)+ f(b))+^(b-d)3 证令M满足 fW = + f\\b))+^(b-a)3M. 再作辅助函数 第8贞(共14贞) ⑴⑵(3) 则F(d) = F(ft)=O ,由罗尔定理存在再e(a,b),使得 0 = F(州)=£ [/(召)_ /'(“)_ (兀一 °)于\"(召)]+ 扌(x _ “)2 M. 所以 f (“)= / U1)+ / (西)(d — X]) + f (xx-a}~M. 再由泰勒公式 * w(a,xju(de), 使得 比较⑸、⑹可得 将⑺代入⑶即证. 3.2利用微分中值定理证明不等式 对于数学体系来说不等式是一块很重要的内容。故不等式的证明对数学是很 重要的。当我们学习了中值定理，知道了它在不等式证明中起着巨大的作用。“我 们可以根据不等式两边的代数式选取一个来构造辅助函数，再应用中值定理得出 一个等式后，对这个等式根据自变量的取值范围的不同进行讨论，得到不等式”。 我们继续通过例子来说明定理在证明中的重要性。 求解这类题的常用思路是先将一边移到另一边，构造一个函数，然后对它求导。 例3. 3【习已知xvo,求证： x+ln(l-x)<1 证 当牙V0时，ln(17)>0则要证的不等式等价于 ln(1 ~ -hi(l-x)4-l<0 X V) 心!x)+i X 吧ln(l—x) + l) = —l + l = O. 设 g(x) = x+ln(l-x)(x<0) 第9贞(共14贞) gM = \\ >0. g (A) T, x v 0时，g (x) v g (0) = 0,即x+ln(l—x)<0 而 / W = -A + ln(1~A)>0,AV(x)X 即证⑻，从而有 -+一!一 例3.4【习设OvbSo,证明不等. a b b 证显然等式当且仅当a = b> 0时成立， 下证当OcbvoH寸，有 Cl b b ⑼ 作辅助函数/(x) = Inx,贝ijf(x)在\\b,a] Jt满足拉格朗日中值,3^e(^,a), In a-\\nb 1 a_b g (10) 由于Ovbvgva,,所以 1 1 1 -> —>- b g a 由(9)、(10),有 (11) a 1 In d — In Z? 1 —< <-. a_b h :. ------ a-b , a a-b 3.3利用微分中值定理求极限 在求极限的题口之中，有时按照通常的解题方法与思路，往往在解题的过程 中会出现很大的计算量，或者是比较繁琐的过程。但是，在某种类型的解题中， 如果我们利用构造辅助函数的方法之后再应用微分中值定理来解题，则比较容易 求出极限。 2 1 丄 例3. 5 lim比~匕\"一/川)，其中。＞0・ fl 第10贞(共14页) 分析 由于题口中有‘和\"法，则可以试着构造辅助函数fM = a\\那么 就可以得到/⑴在 丄丄］ 连续，在|亠丄］上可导，即可以利用拉格朗日中 n + \\ ”」 \\n + \\ nJ 值定理求解。 解 根据题意，ill Lagrange定理，有 1 丄 lim n:(an = lim ,(/)；叱 x(丄一一) 〃虫 n n + \\ =lim ------------ n2ce In a H* n(n + l) = \\na 其中，(—丄). /7 + 1 n 3.4利用微分中值定理求近似值 微分中值定理为我们提供了一种计算近似值的方法，只要构造出一个适当的用微分中值定理就可以的出其近似值。 例3.6【町求而叼的近似值 解 V0^7是函数/(x) = V7在x = 0.97处的值 令 x0 = 1, x二+Ax x = x0 + Ar ,即 Av = -0.03 山微分中值定理得： Jo.97 a Vl + yfx Xs\\ x (—0.03) = l + |x(-0.03) = 0.985 第11页(共14页) 函数，再应3.5利用微分中值定理解决导数估值的问题 在求解函数的一阶导数或者二阶导数的估值问题时，通常利用函数在某两个 定点的泰勒展开式进行函数的导数的估值。 例 3. 7设/⑴在[0,1]±二阶可导/(O) = /(I) = 0,min f(x) = -1,求证: [2]0 max f (A) > 8・ 0 山泰勒公式 = f(a) + f '(a\\x-a} + L :詁(x-a). 2乙■ = ・I + Z1£2(X_\")2 . 2 (1Z) 其中：在d 与 x之间.••• /(0) = /(l) = 0, 将它们代入(⑵式有 0 = -1 +丄尹其中刍已(0, a) O = -l + ^-y^(l-6/)2,其中 ％ 3). (14) 令 / ©) = q,八§2)=。2・ 山(⑶、(14)有 2 0 = -1 + —«,0 = 一1 + ・(1一“)1 2 2 所以， 2 (17)2 • ⑴若a v丄，贝!Jq > & 2 ••• max/(x)>/(^I)=c1 >8. (2)若a > —,贝Ijl—« < —,则c，> 8. 2 2 - 第12贞(共14页) max f (x)> & . 0 在无限区间上求解一些题LI时，若使用了中值定理的推广往往会比较简单的 得到解答。 例4.什］若函斷(朗“茴匚 求证：北e(O，S，使彳鼾(对=0. 分析对于该类型的题口，我们通常采取一种证法。 令 / (x) = 0,有 /(x) = (xe_?) =e_?(l-2x2) = 0. => x = -— e (0,-HO)即可得证。 2 证 由题得/(X)在［0,P)连续，在(o,p)可导，且可得 则由定理2. b得到：lim =0 = /(0) ,X— 3^ €(0.+oO), s.t.f = 5结论 本课题的研究成果是通过大学阶段的有关的数学分析知识的学习，通过多方 面的了解和总结，还包括自己对知识点的理解。在老师和同学一起讨论，了解到 微分中值定理内在的某些联系，之后通过自己对参考书的查阅，自己慢慢地对微 分中值定理的应用做了总结。本课题主要以罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西 中值定理的理解与三者之间的联系及其各自的应用为主要的写作路线，并且通过 例题的解析，更加清晰的描述微分中值定理。通过数学分析的学习，我们已经知 道了微分中值定理中的罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理是儿个非常重要 的基本定理，而掌握好这三个中值定理对于后面的数学分析的学习起着关键性的 作用。我们知道微分中值定理是沟通函数与其导数之间的桥梁，是讨论怎样由函 数的导数的已知性质来推断函数所具有的性质的重要的数学工具。在整个微积分 的学习过程中，也起着不可或缺的作 第13贞(共14页) 用。所以，中值定理在所有的定理中不仅是 最基本的定理，也是构成数学分析理论基础知识的一项非常重要的内容。 参考文献 [1] 华东师范大学数学系.数学分析，上册[M].北京：高等教育岀版社,2010. [2] 众邦考试教冇研究所.数学分析.题解精粹第二版|M]•湖北长江岀版集团,2009. 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