七上有理数运算+绝对值性质及化简--上传

教育学科教师辅导教案

学员编号： 年 级： 七年级 课 时 数：3 学员姓名: 辅导科目： 数学 学科教师：黄琳 课程主题：有理数运算和绝对值专题 学习目标 授课时间：2017-9-13 掌握有理数的混合运算技巧和绝对值经典题型 教学内容 内容回顾 有理数的运算及绝对值专题 一、有理数基本加、减混合运算 有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. ③一个数同0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算步骤： 法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差. 有理数加法的运算律： ①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.abba(加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(ab)ca(bc)(加法结合律) 有理数加法的运算技巧： ①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算. ③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零. ④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加. ⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起. 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数.aba(b) 有理数减法的运算步骤：

①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号） ③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算. 有理数加减混合运算的步骤： ①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果. 注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式. 二、有理数基本乘法、除法 Ⅰ：有理数乘法 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0. 有理数乘法运算律： ①两个数相乘，交换因数的位置，积相等. abba(乘法交换律) ②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. abca(bc)(乘法结合律) ③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. a(bc)abac(乘法分配律) 有理数乘法法则的推广： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是 奇数时，积为负数. ②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0. ③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑 整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算. 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数. 三：有理数除法 1有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.aba，(b0) b两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值. 四、有理数的混合运算顺序 （1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 五、有理数的乘方： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）。a中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 六、绝对值的性质及化简 【绝对值的几何意义】一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a. （距离具有非负性） 【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0. 注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根 据性质去掉绝对值符号. ② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0. ③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负 号，绝对值是5. 【求字母a的绝对值】 a(a0)a(a0)a(a0)①a0(a0) ②a ③a a(a0)a(a0)a(a0)利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：|a|≥0 如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若abc0，则a0，b0，c0 【绝对值的其它重要性质】 （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即aa，且aa； （2）若ab，则ab或ab； （3）abab；aa(b0)； bbn（4）|a|2|a2|a2； （5）||a|-|b|| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|

a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． ab的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离． 【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。 【绝对值不等式】 （1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数 式类型来解； （2）证明绝对值不等式主要有两种方法： A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法； B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的 式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。 一、有理数基本加、减混合运算 【例1】 计算：3133514 5116【例2】 计算：(2.39)(1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32)(1.57)； 6767 【巩固】1.计算：(738)(78.36)(53212)(13.64)(43) 2323

2.计算：121.753 4.53.计算：； 727413341623 二、有理数基本乘法、除法及混合运算、乘方 【例题精讲】 【例题1】345826 【例题2】计算：1221111412161 12 【例题3】计算：(3)115 592114113

【例题4】计算：812999512412 161616 【巩固】计算： 计算：321计算：21035 335231111173511111(1)(36)计算：36(). 234691246 11111【巩固】 计算：()()； 234560 【巩固】 计算：(5315)(1.25)(3)1.4(). 24423

有理数乘方 3【例题1】(－2)6中指数为，底数为；4的底数是，指数是；的底数是，指数是，结果2是； 【例题2】根据幂的意义，(－3)4表示，－43表示； 11【例题3】平方等于的数是，立方等于的数是； 6464【例题4】一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是； 【例题5】平方等于它本身的数是，立方等于它本身的数是； 3333； 【例题6】，，444【例题7】计算 13231.222232.42545 4 242333.2623214.23102 7 335

【思维拓展】 1、你能求出0.1251018102的结果吗? 2、若a是最大的负整数，求a2000a2001a2002a2003的值。 3、若a与b互为倒数，那么a2与b2是否互为倒数？a3与b3是否互为倒数？ 4、若a与b互为相反数，那么a2与b2是否互为相反数？a3与b3是否互为相反数？

数学生活实践 如果今天是星期天，你知道再这2100天是星期几吗？ 大家都知道，一个星期有7天，要解决这个问题，我们只需知道2100被7除的余数是多少，假设余数是1，因为今天是星期天，那么再过这么多天就是星期一；假设余数是2，那么再过这么多天就是星期二；假设余数是3，那么再过这么多天就是星期三„„ 因此，我们就用下面的实践来解决这个问题。 首先通过列出左侧的算式，可以得出右侧的结论： （1）21072 显然21被7除的余数为2； （2）22074 显然22被7除的余数为4； （3）23071 显然23被7除的余数为1； （4）24272 显然24被7除的余数为； （5）25= 显然25被7除的余数为； （6）26= 显然26被7除的余数为； （7）27= 显然27被7除的余数为； „„ 然后仔细观察右侧的结果所反映出的规律，我们可以猜想出2100被7除的余数是。 所以，再过2100天必是星期。 同理，我们也可以做出下列判断：今天是星期四，再过2100天必是星期。 三、绝对值专题 【例题精讲】 （一）绝对值的非负性问题

1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0. 2. 绝对值的非负性；若abc0，则必有a0，b0，c0 【例题】若x3y1z50，则xyz。 总结：若干非负数之和为0，。 7【巩固】1.若m3n22p10，则p＋2n3m_______ 2 2.先化简，再求值：3a2b3222ab2(abab)2ab． 2其中a、b满足a3b1(2a4)20. （二）绝对值的性质 【例1】若a＜0，则4a+7|a|等于（ ） A．11a B．-11a C．-3a D．3a 【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ） A．1，0 B．正数 C．非正数 D．非负数 【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（ ） A．7或-7 B．7或3 C．3或-3 D．-7或-3 【例4】若xx1，则x是（ ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 【例5】已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ） A．1-b＞-b＞1+a＞a B．1+a＞a＞1-b＞-b C．1+a＞1-b＞a＞-b D．1-b＞1+a＞-b＞a 【例6】已知a．b互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ） A．2 B．2或3 C．4 D．2或4 【例7】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（ ） A．6 B．-4C．-2a+2b+6D．2a-2b-6 【例8】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|=________ a1-1c0b

【例9】若x＜-2，则|1-|1+x||=______ 若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________ 【思维拓展】 【例1】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ） A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号 【例2】给出下面说法： （1）互为相反数的两数的绝对值相等； （2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； （3）若|m|＞m，则m＜0； （4）若|a|＞|b|，则a＞b，其中正确的有（ ） A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 【例3】计算111111....= ． 23220072006 【例4】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________ 【例5】已知数a,b,c的大小关系如图所示， b0a则下列各式： cc①ba(c)0；②(a)bc0；③ab1；④bca0； abc⑤abcbac2b．其中正确的有．（请填写番号） b，c是非零整数，且abc0，求【巩固】已知a，abcabc的值 abcabc （三）绝对值相关化简问题（零点分段法） 零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号． 【例题】阅读下列材料并解决相关问题： xx0我们知道x0x0，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， xx0 如化简代数式x1x2时，可令x10和x20，分别求得

x1，x2（称1，2分别为x1与x2的零点值），在有理数范围内，零点 值x1和x2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况： ⑴当x1时，原式x1x22x1 ⑵当1≤x2时，原式x1x23 ⑶当x≥2时，原式x1x22x1 2x1x1综上讨论，原式31≤x2 2x1x≥2（1）求出x2和x4的零点值 （2）化简代数式x2x4 解： （1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4． （2）当x＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2； 当-2≤x＜4时，|x+2|+|x-4|=6； 当x≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2． 【巩固】化简 1. x1x2 2. mm1m2的值 3. x52x3． 4. (1)2x1； 变式5.已知x3x2的最小值是a，x3x2的最大值为b，求ab的值。