第一次月考试卷
一、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
1.将二次函数𝑦=𝑥2−4𝑥+3化为𝑦=𝑎(𝑥+𝑚)2+𝑘的形式：𝑦=________．
2.某工厂一月份产值是150万元，受国际金融危机的影响，第一季度的产值是310万元，设每月的产值的平均下降率为𝑥，则可列方程：________．
3.写出一个𝑦关于𝑥的二次函数𝑦=________．使得当𝑥=1时，𝑦=0；当𝑥=3时，𝑦<0． 4.方程(𝑥+2)(𝑥−3)=0的解是________．
5.抛物线的图象如图，当𝑥________时，𝑦>0．
6.用一根长26𝑚的细绳围成面积为42𝑚2的长方形，则长方形的长和宽分别为________𝑚和________𝑚．
7.已知关于𝑥的方程𝑥2+(2𝑘+1)𝑥+𝑘2=0的两个实数根的平方和是7，则𝑘=________． 8.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为________．
9.如果𝑚、𝑛是一元二次方程𝑥2+3𝑥−9=0的两个实数根，则𝑚2+4𝑚+𝑛=________． 10.如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥，小强骑自行车从拱梁一端𝑂匀速穿过拱梁部分的桥面𝑂𝐶，当小强骑自行车行驶8秒时和24秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面𝑂𝐶共需________秒．
二、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ） 11.函数𝑦=𝑥2−2𝑥+3的图象的顶点坐标是（ ） A.(1, −4) B.(−1, 2) C.(1, 2) D.(0, 3) 12.一元二次函数(𝑥−1)(𝑥−2)=0的解为（ ） A.𝑥1=−1，𝑥2=−2 B.𝑥1=1，𝑥2=2 C.𝑥1=0，𝑥2=1 D.𝑥1=0，𝑥2=2
13.一元二次方程3𝑥2−4=−2𝑥的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A.3，−4，−2 B.3，−2，−4 C.3，2，−4 D.3，−4，0 14.如图为二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象，①2𝑎+𝑏=0；②𝑎+𝑏+则下列说法：
𝑐>0；③当−1<𝑥<3时，𝑦>0；④−𝑎+𝑐<0．其中正确的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
15.已知𝑎<0，二次函数𝑦=−𝑎𝑥2的图象上有三个点𝐴(−2, 𝑦1)，𝐵(1, 𝑦2)，𝐶(3, 𝑦3)，则有（ ）
A.𝑦1<𝑦2<𝑦3 B.𝑦2<𝑦3<𝑦1 C.𝑦3<𝑦2<𝑦1 D.𝑦2<𝑦1<𝑦3
16.关于方程式88(𝑥−2)2=95的两根，下列判断何者正确？（ ） A.两根都大于2 B.一根小于−2，另一根大于2 C.两根都小于0 D.一根小于1，另一根大于3
17.当−2≤𝑥≤1时，二次函数𝑦=−(𝑥−𝑚)2+𝑚2+1有最大值4，则实数𝑚的值为（ ）
B.√3或−√3 7
A.−4 C.2或−√3 D.2或−√3或−4
7
18.如果关于𝑥的一元二次方程𝑘𝑥2−6𝑥+9=0有两个不相等的实数根，那么𝑘的取值范围是（ ） A.𝑘<1 B.𝑘≠0 C.𝑘<1且𝑘≠0 D.𝑘>1 19.已知函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑧的图象如图所示，那么函数解析式为（ ）
A.𝑦=−𝑥2+2𝑥+3 B.𝑦=𝑥2−2𝑥−3 C.𝑦=−𝑥2−2𝑥+3 D.𝑦=−𝑥2−2𝑥−3
20.若𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑥2+4𝑥+3=0的两个根，则𝑥1⋅𝑥2的值是（ ） A.4 B.3 C.−4 D.−3 三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ） 21.解方程：
(1)𝑥2−6𝑥=−5 (2)(2𝑥−3)2=7
(3)2𝑥2−5𝑥+1=0 (4)(3𝑥−4)2=(4𝑥−3)2．
22.已知关于𝑥的方程(𝑚−1)𝑥2−𝑥−2=0．
(1)若𝑥=−1是方程的一个根，求𝑚的值和方程的另一根；
(2)当𝑚为何实数时，方程有实数根；
22𝑥2+𝑥1𝑥2=−，试求实数𝑚的值． (3)若𝑥1，𝑥2是方程的两个根，且𝑥1
8
1
23.如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为1，𝐸、𝐹、𝐺、𝐻分别在𝐴𝐷，𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷上，且𝐴𝐹=𝐵𝐺=𝐶𝐻=𝐷𝐸=𝑥，当𝑥为何值时，四边形𝐸𝐹𝐺𝐻的面积最小？
24.我们知道：𝑥2−6𝑥=(𝑥2−6𝑥+9)−9=(𝑥−3)2−9；−𝑥2+10=−(𝑥2−10𝑥+25)+25=−(𝑥−5)2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
(1)按上面材料提示的方法填空：𝑎2−4𝑎=________=________．−𝑎2+12𝑎=________=________．
(2)探究：当𝑎取不同的实数时在得到的代数式𝑎2−4𝑎的值中是否存在最小值？说明理由． (3)应用：如图．已知线段𝐴𝐵=6，𝑀是𝐴𝐵上的一个动点，设𝐴𝑀=𝑥，以𝐴𝑀为一边作正方
𝑀𝑁为一组邻边作长方形𝑀𝐵𝐶𝑁．形𝐴𝑀𝑁𝐷，再以𝑀𝐵、问：当点𝑀在𝐴𝐵上运动时，长方形𝑀𝐵𝐶𝑁
的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
25.某批发商以每件50元的价格购进800件𝑇恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的𝑇恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低𝑥元． (1)填表：（不需化简）
时间 单价（元） 销售量（件） 第一个月 80 200 第二个月 清仓时 40 (2)如果批发商希望通过销售这批𝑇恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
26.如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+𝑐(𝑎≠0)与𝑦轴交于点𝐶(0, 4)，与𝑥轴交于点𝐴、𝐵，点𝐴坐标为(4, 0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为𝑁，在𝑥轴上找一点𝐾，使𝐶𝐾+𝐾𝑁最小，并求出点𝐾的坐标；
(3)点𝑄是线段𝐴𝐵上的动点，过点𝑄作𝑄𝐸 // 𝐴𝐶，交𝐵𝐶于点𝐸，连接𝐶𝑄．当△𝐶𝑄𝐸的面积最大时，求点𝑄的坐标；
(4)若平行于𝑥轴的动直线𝑙与该抛物线交于点𝑃，与直线𝐴𝐶交于点𝐹，点𝐷的坐标为(2, 0)．问：是否存在这样的直线𝑙，使得△𝑂𝐷𝐹是等腰三角形？若存在，请求出点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1.(𝑥−2)2−1
2.150+150(1+𝑥)+150(1+𝑥)2=310 3.−𝑥2+2𝑥−1 4.𝑥1=−2，𝑥2=3 5.<1或𝑥>3 6.76 7.−3或1
8.𝑦=−25𝑥2+5𝑥
9.6 10.32
11-20： CBCCD DCCAB
21.解：(1)∵𝑥2−6𝑥+5=0， ∵(𝑥−1)(𝑥−5)=0， ∵𝑥−1=0或𝑥−5=0，
∵𝑥1=1，𝑥2=5；(2)∵2𝑥−3=±√7， ∵𝑥1=
3+√72
18
，𝑥2=
3−√72
；(3)∵△=25−4×2=17，
∵𝑥=5±√17，
2×2
∵𝑥1=5+√17，𝑥2=5−√17；(4)∵3𝑥−4=±(4𝑥−3)
4
4
即3𝑥−4=4𝑥−3或3𝑥−4=−(4𝑥−3)， ∵𝑥1=−1，𝑥2=1．
22.解：(1)将𝑥=−1代入原方程得𝑚−1+1−2=0 解得：𝑚=2，
设方程的另一根是𝑥，则𝑥−1=1 ∵另一根为𝑥=2． (2)当𝑚=1时，−𝑥−2=0，方程是一元一次方程，此时的实数解为𝑥=−2；当𝑚不等于1时，原方程为一元二次方程，要使方程有实数根，则有△=𝑏2−4𝑎𝑐≥0， ∵1+4×2(𝑚−1)≥0． 解得：𝑚≥8．
即当𝑚≥8时，方程有实数根．(3)∵𝑥1+𝑥2=𝑚−1，𝑥1𝑥2=−𝑚−1．
22𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥2=𝑥1𝑥2(𝑥1+𝑥2)=(−
2𝑚−1
7
1
2
7
)(
)=−．
𝑚−18
11
解得：𝑚1=5，𝑚2=−3， ∵𝑚≥8，
∵𝑚=5．
23.解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐴=1，∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=∠𝐷=90∘， ∵𝐴𝐹=𝐵𝐺=𝐶𝐻=𝐷𝐸=𝑥， ∵𝐴𝐸=𝐵𝐹=𝐶𝐺=𝐷𝐻=1−𝑥， ∵△𝐴𝐹𝐸≅△𝐵𝐺𝐹≅△𝐶𝐻𝐺≅△𝐷𝐸𝐻， ∵𝐸𝐹=𝐹𝐺=𝐺𝐻=𝐻𝐸，
且∠𝐸𝐹𝐺=180∘−∠𝐴𝐹𝐸−∠𝐵𝐹𝐺=180∘−∠𝐴𝐹𝐸−∠𝐴𝐸𝐹=90∘， ∵四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是正方形．
𝑆正方形𝐸𝐹𝐺𝐻=𝐸𝐹2=𝐴𝐸2+𝐴𝐹2=(1−𝑥)2+𝑥2=2𝑥2−2𝑥+1， ∵当𝑥=−2×2时，𝑆有最小值，
−27
即𝑥=2时，正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的面积最小．
24.𝑎2−4𝑎+4−4(𝑎−2)2−4−(𝑎2−12𝑎+36)+36−(𝑎−6)2+36(2)∵𝑎2−4𝑎=𝑎2−4𝑎+4−4=(𝑎−2)2−4≥−4，−𝑎2+12𝑎=−(𝑎2−12𝑎+36)+36=−(𝑎−6)2+36≤36，
∵当𝑎=2时，代数式𝑎2−4𝑎存在最小值为−4；(3)根据题意得：𝑆=𝑥(6−𝑥)=−𝑥2+6𝑥=−(𝑥−3)2+9≤9，
则𝑥=3时，𝑆最大值为9． 25.第二个月的单价应是70元．
26.解：(1)∵抛物线经过点𝐶(0, 4)，𝐴(4, 0)， 𝑐=4𝑎=−2 ∵{，解得{，16𝑎−8𝑎+4=0𝑐=4
∵抛物线解析式为𝑦=−2𝑥2+𝑥+4；(2)由(1)可求得抛物线顶点为𝑁(1, 2)， 如图1，作点𝐶关于𝑥轴的对称点𝐶′(0, −4)，连接𝐶′𝑁交𝑥轴于点𝐾，则𝐾点即为所求，
1
9
1
1
𝑘=𝑘+𝑏=2
2， 设直线𝐶′𝑁的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，把𝐶′、𝑁点坐标代入可得{，解得{
𝑏=−4𝑏=−4∵直线𝐶′𝑁的解析式为𝑦=令𝑦=0，解得𝑥=17，
∵点𝐾的坐标为(17, 0)；(3)设点𝑄(𝑚, 0)，过点𝐸作𝐸𝐺⊥𝑥轴于点𝐺，如图2，
8
8
172
9
17
𝑥−4，
由−2𝑥2+𝑥+4=0，得𝑥1=−2，𝑥2=4，
1
∵点𝐵的坐标为(−2, 0)，𝐴𝐵=6，𝐵𝑄=𝑚+2， 又∵𝑄𝐸 // 𝐴𝐶， ∵△𝐵𝑄𝐸≅△𝐵𝐴𝐶， ∵𝐶𝑂=𝐵𝐴，即4=
𝐸𝐺
𝐵𝑄
𝐸𝐺
𝑚+26
，解得𝐸𝐺=
1
2𝑚+43
；
1
2𝑚+43
∵𝑆△𝐶𝑄𝐸=𝑆△𝐶𝐵𝑄−𝑆△𝐸𝐵𝑄=2(𝐶𝑂−𝐸𝐺)⋅𝐵𝑄=2(𝑚+2)(4−−(𝑚−1)2+3．
31
)=−3𝑚2+3𝑚+3=
128
又∵−2≤𝑚≤4，
∵当𝑚=1时，𝑆△𝐶𝑄𝐸有最大值3，此时𝑄(1, 0)；(4)存在．在△𝑂𝐷𝐹中， (𝐼)若𝐷𝑂=𝐷𝐹，∵𝐴(4, 0)，𝐷(2, 0)， ∵𝐴𝐷=𝑂𝐷=𝐷𝐹=2．
又在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐶中，𝑂𝐴=𝑂𝐶=4， ∵∠𝑂𝐴𝐶=45∘．
∵∠𝐷𝐹𝐴=∠𝑂𝐴𝐶=45∘． ∵∠𝐴𝐷𝐹=90∘．
此时，点𝐹的坐标为(2, 2)．
由−2𝑥2+𝑥+4=2，得𝑥1=1+√5，𝑥2=1−√5． 此时，点𝑃的坐标为：𝑃1(1+√5, 2)或𝑃2(1−√5, 2)； (𝐼𝐼)若𝐹𝑂=𝐹𝐷，过点𝐹作𝐹𝑀⊥𝑥轴于点𝑀．
1
由等腰三角形的性质得：𝑂𝑀=2𝑂𝐷=1， ∵𝐴𝑀=3．
∵在等腰直角△𝐴𝑀𝐹中，𝑀𝐹=𝐴𝑀=3． ∵𝐹(1, 3)．
由−2𝑥2+𝑥+4=3，得𝑥1=1+√3，𝑥2=1−√3． 此时，点𝑃的坐标为：𝑃3(1+√3, 3)或𝑃4(1−√3, 3)； (𝐼𝐼𝐼)若𝑂𝐷=𝑂𝐹，
∵𝑂𝐴=𝑂𝐶=4，且∠𝐴𝑂𝐶=90∘． ∵𝐴𝐶=4√2．
∵点𝑂到𝐴𝐶的距离为2√2．
而𝑂𝐹=𝑂𝐷=2<2√2，与𝑂𝐹≥2√2矛盾．
1
1
∵在𝐴𝐶上不存在点使得𝑂𝐹=𝑂𝐷=2．
此时，不存在这样的直线𝑙，使得△𝑂𝐷𝐹是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线𝑙，使得△𝑂𝐷𝐹是等腰三角形．所求点𝑃的坐标为：(1+√5, 2)或(1−√5, 2)或(1+√3, 3)或(1−√3, 3)．
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