142解题技巧与方法JIETIJIQIAOYUFANGFA初中几何动态问题中最值解法的探讨因郑宏超渊浙江省杭州市文海实验学校猿员园园员愿冤亦在砸贼吟耘韵匀中袁耘匀越韵耘窑泽蚤灶蚁耘韵匀越员伊姨3=姨3.22在初中平面几何中袁有一类在动态问题中求线段的长度尧图形的周长或面积尧角的度数以及它们的和与差等的最大值或最小值问题袁我们称为最值问题.解决平面几何最值问题的常用的方法有院渊员冤利用轴对称的性质求最值曰渊圆冤应用垂线段最短的性质求最值曰渊猿冤利用两点间线段最短的公理渊含应用三角形的三边关系冤求最值曰在利用以上方法求最值时袁蕴含多种数学思想方法袁包括数形结合的思想袁分类讨论思想尧转化的思想尧函数的思想.解题时突出这些基本思想方法袁就相当于抓住了中学数学知识的精髓袁下面通过几个实例探讨其解法.一尧应用轴对称的性质求最值例如图袁圆柱形玻璃杯高为员圆糟皂尧底面周长为员愿糟皂袁在杯内离杯蚂蚁A底源糟皂的点悦处有一滴蜂蜜袁此时一C蜂蜜只蚂蚁正好在杯外壁袁离杯上沿源糟皂与蜂蜜相对的点粤处袁则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为糟皂援揖考点铱圆柱的展开袁轴对称渊最短路线问题冤袁勾股定理.揖分析铱如图袁圆柱形玻璃杯展开B4N渊沿点粤竖直剖开冤后侧面是一个长MP184员愿宽员圆的矩形袁作点粤关于杯上沿A.com.cn. All Rights Reserved.12酝晕的对称点月袁连接月悦交酝晕于点D4C944孕袁连接月酝袁过点悦作粤月的垂线交剖9开线酝粤于点阅.由轴对称的性质和三角形三边关系知粤孕垣孕悦为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离袁且粤孕越月孕.由已知和矩形的性质袁得阅悦越怨袁月阅越员圆.在砸贼吟月悦阅中袁由勾股定理得院BC=姨DC2+BD2=姨92+122=15.亦粤孕垣孕悦越月孕垣孕悦越月悦越员缘袁即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为员缘糟皂.二尧应用垂线段最短的性质求最值A例如图袁吟粤月悦中袁蚁月粤悦越远园毅袁蚁粤月悦越源缘毅袁粤月越圆姨2袁阅是线段月悦O上的一个动点袁以粤阅为直径画已韵分E别交粤月袁粤悦于耘袁云袁连接耘云袁则线段FBDC耘云长度的最小值为援揖考点铱垂线段的性质袁垂径定理袁圆周角定理袁解直角三角形.A揖分析铱由垂线段的性质可知袁当粤阅为吟粤月悦的边月悦上的高时袁直径OE粤阅最短袁此时线段耘云越圆耘匀越圆园耘窑泽蚤灶蚁耘韵匀越圆O耘窑泽蚤灶远园毅袁当半径韵耘最HF短时袁耘云最短.如图袁连接韵耘袁韵云袁过CDB韵点作韵匀彝耘云袁垂足为匀.疫在砸贼吟粤阅月中袁蚁粤月悦越源缘毅袁粤月越圆姨2袁亦粤阅越月阅越圆袁即此时圆的直径为圆.由圆周角定理可知蚁耘韵匀越1蚁耘韵云越蚁月粤悦越远园毅袁2由垂径定理可知耘云越圆耘匀越姨3.三尧应用公理两点间线段最短求最值M例如图袁蚁酝韵晕越怨园毅袁矩形D粤月悦阅的顶点粤尧月分别在边韵酝袁韵晕上袁当月在边韵晕上运动时袁粤随之在A边韵酝上运动袁矩形粤月悦阅的形状保持不变袁其中粤月越圆袁月悦越员袁运动过程OB中袁点阅到点韵的最大距离为渊冤.CN粤援姨2+1月援姨5悦援姨145缘阅援552揖考点铱矩形的性质袁直角三角形斜边上的中线性质袁三角形三边关系袁勾股定理.M揖分析铱如图袁取粤月的中点耘袁连D接韵耘袁阅耘袁韵阅袁A疫韵阅臆韵耘垣阅耘袁E亦当韵尧阅尧耘三点共线时袁点阅到C点韵的距离最大袁NOB此时袁疫粤月越圆袁月悦越员袁亦韵耘越粤耘越1粤月越员.2亦韵阅的最大值为院姨2+1.故选粤.四尧应用二次函数求最值B例如图袁已知半径为圆的已韵与P直线造相切于点粤袁点孕是直径粤月左侧半圆上的动点袁过点孕作直线造的垂O线袁垂足为悦袁孕悦与已韵交于点阅袁连Dl接孕粤尧孕月袁设孕悦的长为曾渊圆约曾约源冤援AC渊1冤当x=5时袁求弦PA尧PB的长度曰2渊2冤当x为何值时袁PD窑PC的值最大钥最大值是多少钥揖考点铱切线的性质袁相似三角形的判定和性质袁勾股定理袁垂径定理袁二次函数的最值.揖分析铱渊1冤由直线l与圆相切于点A袁且AB为圆的直径袁根据切线的性质得到AB垂直于直线l袁又PC垂直于直线l袁根据垂直于同一条直线的两直线平行袁得到AB与PC平行袁根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等袁再由一对直角相等袁利用两对对应角相等的两三角形相似可得出吟PCA与吟PAB相似袁由相似得比例袁将PC及直径AB的长代入求出PA的长袁在Rt吟APB中袁由AB及PA的长袁利B用勾股定理即可求出PB的长.P渊2冤过O作OE垂直于PD袁与PDEO交于点E袁由垂径定理得到E为PD的D中点袁再由三个角为直角的四边形为lA矩形得到OACE为矩形袁根据矩形的C渊下转员源4页冤数学学习与研究2016.12阅耘越姨AD2+AF2=姨12+12=姨2袁144解题技巧与方法JIETIJIQIAOYUFANGFA题目院如图员吟粤月悦中袁蚁月粤悦越怨园毅袁粤月越粤悦袁粤耘是过粤点的一条直线袁且月袁悦两点在粤耘的异侧袁月阅彝粤耘于阅袁悦耘彝粤耘于耘援试说明月阅越阅耘垣悦耘援渊1冤若直线粤耘绕粤点旋转到图圆位置时渊月阅约悦耘冤袁其余条件不变袁问月阅与阅耘尧悦耘的关系如何钥并证明援渊2冤若直线粤耘绕粤点旋转到图猿位置时渊月阅跃悦耘冤袁其余条件不变袁问月阅与阅耘尧悦耘的关系如何钥不需说明理由援渊3冤归纳员袁圆袁猿袁表述月阅与粤耘袁悦耘的关系ADBE图1CDB图2AEDAEC图3CB三尧加强阅读材料中的野信息技术应用冶袁加大学科结合袁提高学生多方面阅读能力人教版圆园员猿初中数学教材每一章都有一篇关于数学与信息技术应用相结合的文章袁这些文章都介绍了可以用一些数学的软件如叶几何画板曳袁叶超级画板曳等来验证或者扩充对所学知识的理解袁每一材料中的每一个问题都自有一定的趣味性尧目的性和挑战性.信息技术的直观尧变换等等这些特点都能够引发学生在阅读中有充分的工具来验证所学袁让他们有更多的机会动手尧动脑尧思考和探索袁从而使学生的自主探索成为可能袁有效地改变了学生的学习方式袁激发热情.如教材中运用信息技术研究数学问题的阅读材料院野叶探索旋转的性质曳冶尧野利用计算机求平均数尧中位数和众数冶尧野探索二次函数的性质冶等等袁学生懂得了可借助于计算机袁应用多媒体.com.cn. All Rights Reserved.技术来绘制表格与图袁借助电脑利用平移尧旋转尧轴对称等绘制美丽的图案袁探索图形的性质等.都是些很有趣的数学实验袁都能让学生验证出真知.四尧把阅读材料与数学知识尧人文知识的教学和人文精神的培养融为一体叶数学课程标准曳指出院野数学是人类的一种文化袁它的内容尧思想尧方法和语言是现代文明的重要组成部分.冶初中的数学教育应将数学知识尧人文知识的教学和人文精神的培养融为一体袁体现数学的文化价值.我们的教材中的阅读材料袁许多材料很多都涉及重大史料尧背景材料及数学在现代生活渊上接员源圆页冤对边相等袁可得出EC=OA=2袁用PC-EC的长表示出PE袁根据PD=2PE表示出PD袁再由PC-PD表示出CD袁代入所求的式子中袁整理后得到关于x的二次函数袁配方后根据自变量x的范围袁利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值.渊1冤疫已O与直线l相切于点A袁AB为已O的直径袁亦AB彝l.又疫PC彝l袁亦AB椅PC.亦蚁CPA=蚁PAB.疫AB为已O的直径袁亦蚁APB=90毅.亦蚁PCA=蚁APB袁亦吟PCA易吟APB.亦PC=PA袁即PA2=PC窑PD.APAB中的应用等知识袁有的内容涉及祖国在数学上的光辉历史和杰出成就袁是渗透爱国主义教育袁激发爱国情操的好材料.如以数学史的呈现方式院七年级上册的野中国古代数的发展方面的贡献冶尧野数学中的符号冶袁七年级下册的野叶九章算曳术中的方程冶袁都体现了数学教育的人文关怀与人文精神.而有的内容有利于学习科学家一丝不苟的学习态度和献身精神.比如可以在八年级上册第六章野图形与坐标冶袁八年级下册第四章野命题与证明冶的教学中向学生介绍野笛卡尔冶尧野费马和他的猜想冶等阅读材料袁让学生学习数学家们严谨尧追求真理尧勇于探索创新的科学精神.这些材料都能使学生了解中华民族对数学发展的伟大贡献袁增强学生的民族自豪感袁努力学好数学的使命感.五尧利用阅读材料来强化学生应用数学的意识袁提高应用能力新人教版教材设置阅读材料袁在联系实际提高数学知识应用能力培养中袁编入了许多相关内容.一方面是有意识利用数学的概念尧原理和方法解释现实世界中的现象袁解决现实世界中的问题袁另一方面袁也让学生能够认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题袁这些问题可以抽象成数学问题袁用数学的方法予以解决.如阅读了叶测量教学楼的高度曳我就组织学生进行了一次研究性作业来测量我校的旗杆的高度袁并且形成了研究性报告.如在学习了叶中学生的视力情况调查曳一节后袁笔者也组织部分学生进行了对区内的三所百佳超市的售卖情况的调查报告.学生非常认真的设计了调查目的尧调查内容尧调查过程等等袁把阅读材料与应用实践深入到学生的数学学习生活中袁每名学生都投入了极高的热情和精力袁最后调查报告还获得了市的优秀学生作品一等奖.最后从应试的角度讲袁近几年来全国各地的中考数学试题中出现的一类题要阅读理解型题袁这些题目很多都是从书本的阅读内容里深化和变化而来的袁主要考查的是学生的阅读能力尧理解能力尧分析问题和解决问题的能力袁若没有一定的阅读能力袁题意都不能领会袁谈何解题.所以希望我们教学者应该要重视对课本上的数学材料的阅读袁在课堂上和课后都能增加对这方面内容的处理和使用袁从而让学生的数学理解能力袁数学表达能力都能够提高.PB=姨16-10=姨6.渊2冤过O作OE彝PD袁垂足为E.疫PD是已O的弦袁OF彝PD袁亦PF=FD.在矩形OECA中袁CE=OA=2袁亦PE=ED=x原2.亦CD=PC原PD=x原2渊x原2冤=4原x袁亦孕阅窑孕悦越圆渊曾原圆冤窑渊源原曾冤越原圆曾圆垣员圆曾原员远越原圆渊曾原猿冤圆垣圆援疫2