电磁场理论 实验

示例实验1. 利用Matlab模拟点电荷电场的分布

一、实验目的

1．熟悉单个点电荷及一对点电荷的电场分布情况； 2．学会使用Matlab进行数值计算，并绘出相应的图形；

二、实验原理

根据库伦定律：在真空中，两个静止点电荷之间的作用力与这两个电荷的电量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向在两个电荷的连线上，两电荷同号为斥力，异号为吸力，它们之间的力F满足： Fk由电场强度E的定义可知：

EkQˆR (式2) 2RkQ (式3) RQ1Q2ˆR (式1) R2对于点电荷，根据场论基础中的定义，有势场E的势函数为 U而 EU (式4) 在Matlab中，由以上公式算出各点的电势U，电场强度E后，可以用Matlab自带的库函数绘出相应电荷的电场分布情况。

三、实验内容

(1) 画单个点电荷的平面电场线与等势线，正点电荷与负点电荷任选一个作图；

(2) 画一对点电荷的平面电场线与等势线，可以在一正一负，两个负电荷和两个正电荷之中任选一组； (3) 画出(1)中的三维图形。

四、实验步骤

1．对于单个点荷的电力线和等势线： 真空中点电荷的场强大小是： Ekq （式5） r2其中k=9109为静电力恒量，q为点电荷的电量，r为点电荷到场点P(x,y)的距离。电场呈球对称分布，本实验中，取点电荷为正电荷，电力线是以电荷为起点的射线簇。以无穷远处为零势点，点电荷的电势为： Ukq （式6） r当U取常数时，此式就是等势面方程。等势面是以电荷中心，以r为半径的球面。

（1） 平面电力线的画法：

在平面上，电力线是等角平分布的射线簇，取射线的半径为r0=0.12。其程序如下：

r0=0.12; % 射线的半径 th=linspace(0,2*pi,13); % 电力线的角度

[x,y]=pol2cart(th,r0); % 将极坐标转化为直角坐标 x=[x;0.1*x]; % 插入x的起始坐标 y=[y;0.1*y]; % 插入y的起始坐标 plot(x,y,'b') % 用蓝色画出所有电力线 grid on % 加网格 Hold on % 保持图像 plot(0,0,'o','MarkerSize',12) % 画电荷

xlabel('x','fontsize',16) % 用16号字体标出X轴 ylabel('y','fontsize',16) % 用16号字体标出Y轴 title('正电荷的电力线','fontsize',20) % 添加标题

图1 正电荷的电力线

（2） 平面等势面的画法

在过电荷的截面上，等势线就是以电荷为中心的圆簇。此实验中，由于

r0=0.12，k=9109，考虑到电势的大小，取q=1109C，且最大的等势线的半径应该比射线的半径小一点，取r0=0.1，其电势为U0kq。等势线共取7条，r0且最大的电势为最小电势的3倍。在电场线的基础上画出点电荷的等势线图，可以省略一些基本参数的设置，其图如图2所示，其程序如下：

k=9e9; % 设定k值 q=1e-9; % 设定电荷电量 r0=0.1; % 设定最大等势线的半径 u0=k*q/r0; % 算出最小的电势

u=linspace(1,3,7)*u0; % 求出各条等势线的电势大小 x=linspace(-r0,r0,100); % 将X坐标分成100等份 [X,Y]=meshgrid(x); % 在直角坐标中形成网格坐标

r=sqrt(X.^2+Y.^2); % 各个网格点到电荷点的距离 U=k*q./r; % 各点的电势

contour(X,Y,U,u) % 画出点电荷的电势面 title('正电荷的电场线和等势线','fontsize',20) %显示标题

图2 正电荷的电场线和等势线

(3) 点电荷的立体电力线

点电荷的立体等势线呈球形发射状的射线簇，因此要先形成三维单位球面坐标，参数还是用前面画平面图的参数。因此其程序如下： r0=0.12 % 重新设定电力线的半径

[X,Y,Z]=sphere(8); % 形成三维单位球面坐标，绕Z轴一周有8条电力线 x=r0*X(:)'; % 将X化成行向量 y=r0*Y(:)'; % 将Y化成行向量 z=r0*Z(:)'; % 将Z化成行向量 x=[x;zeros(size(x))]; % 对x坐标插入原点

y=[y;zeros(size(y))]; % 对y坐标插入原点 z=[z;zeros(size(z))]; % 对z坐标插入原点 plot3(x,y,z,'b') % 画出所有电力线 Hold on % 保持图像

xlabel('x','fontsize',16) % 用16号字体标出X轴 ylabel('y','fontsize',16) % 用16号字体标出Y轴 zlabel('z','fontsize',16) % 用16号字体标出Z轴 title('正电荷电场线的三维图形','fontsize',20) % 添加标题 其图形如下：

图3 正电荷电场线的三维图形

(4) 点电荷的等势面

画等势面时同样要先形成球面，不同的等势面对应不同的半径，而坐标所形成的一个一维的行向量，而三维单位球面的每一维都是21*21的网格矩阵，矩阵的维度不一样，不能直接相乘。因此为减少计算量，只画5条等势面。其程序如下：

u=linspace(1,3,5)*u0; % 计算各面的电势 r=k*q./u; % 计算各等势面的半径 [X,Y,Z]=sphere; % 形成三维的单位球

Z(X<0&Y<0)=nan; % 把球面的四分之一设为非数，便于观察 surf(r(1)*X,r(1)*Y,r(1)*Z); % 画最外面的等势面 hold on; % 保持图形 surf(r(2)*X,r(2)*Y,r(2)*Z); hold on;

surf(r(3)*X,r(3)*Y,r(3)*Z); hold on;

surf(r(4)*X,r(4)*Y,r(4)*Z); hold on;

surf(r(5)*X,r(5)*Y,r(5)*Z);

shading interp % 将各球面的颜色设置成浓淡变化的 xlabel('x','fontsize',16) % 标记X坐标轴 ylabel('y','fontsize',16) % 标记X坐标轴 zlabel('z','fontsize',16) % 标记X坐标轴

title('正电荷等势面的三维图形','fontsize',20) % 添加标题

图4正电荷等势面的三维图形

2.对于一对点电荷的电力线与等势线

到于两个点电荷的电场分布，比一个点电荷的电场分布要复杂得多，电场线的切线为该点电场强度E的方向。因此画电场线需要先计算出当前点的电场强度E方向，而E又是一个矢量，没有像电势U那样可以直接进行标量计算。因此对于多个点电荷的电场来说，先画出其等势线会更方便一些。 (1) 一对点电荷的平面等势线

对于两个点电荷，不妨取q11109,q21109，正电荷在x轴的正方向，负电荷在x轴的负方向，它们到原点的距离定为a=0.02；假设平面的范围为

xx0=0.05，yy0=0.04。则其程序如下：

k=9e9; % 设定k值 q1=1e-9; % 设置正电荷电量 q2=-1e-9; % 设置负电荷电量 a=0.02; % 设置电荷到原点的距离 xx0=0.05; % 设置X轴的范围 yy0=0.04; % 设置Y轴的范围 x=linspace(-xx0,xx0,20); % 将X轴进行20等分 y=linspace(-yy0,yy0,50); % 将Y轴进行50等分 [X,Y]=meshgrid(x); % 形成网格坐标 r1=sqrt((X-a).^2+Y.^2); % 各点到正电荷的距离 r2=sqrt((X+a).^2+Y.^2); % 各点到负电荷的距离 U=k*q1./r1+k*q2./r2; % 各点的电势 u0=500; % 设定最大电势的大小 u=linspace(u0,-u0,11); % 计算各等势线的电势 contour(X,Y,U,u,'k-'); % 画出所有的等势线 Grid on % 形成网格 Hold on % 保持图形

plot(-a,0,'o','MarkerSize',12);plot(a,0,'o','MarkerSize',12) % 画电荷 xlabel('x','fontsize',16) % 用16号字体标出X轴 ylabel('y','fontsize',16) % 用16号字体标出Y轴

title('一对相异电荷的等势线图','fontsize',20) % 添加标题

图5 一对相异电荷的等势线图

(2) 一对点电荷的平面电场线

各点的电场强度方向代替电力线。根据电势的梯度可以求出各点的场强的两个分量再在此方向上标上箭头。其程序如下所示：

[Ex,Ey]=gradient(-U); % 各点的场强的两个分量 E=sqrt(Ex.^2+Ey.^2); % 各点的合场强

Ex=Ex./E; % 为使箭头等长，将场强归一化 Ey=Ey./E;

quiver(X,Y,Ex,Ey); % 标出各网点的电场强度方向 title('一对相异电荷的等势线图和电场线图','fontsize',20) % 标出标题

其图如图六所示：

图6 一对相异电荷的等势线图和电场线图

示例实验2.电基本振子仿真实验

一、实验目的

通过MATLAB编程，熟悉电基本阵子和对称阵子的辐射特性，了解影响对称阵子辐射的因素及其变化对辐射造成的影响。

二、实验原理：

1．电基本振子的辐射

电基本振子（Electric Short Dipole）又称电流元，它是指一段理想的高频电流直导线，其长度l远小于波长λ，其半径a远小于l，同时振子沿线的电流I处处等幅同相。用这样的电流元可以构

成实际的更复杂的天线，因而电基本振子的辐射特性是研究更复杂天线辐射特性的基础。

zErIlOrEHyx

图2-1 电基本振子的坐标

电基本振子在无限大自由空间中场强的表达式为：

Hr0H0Ilk1Hsin(j2)ejkr4rrIl2k1jkr （2-1） Ercos(2j3)e40rrIl1k2k1jkrEAsin(j2j3)e40rrrE0电基本振子的辐射场可以分为近区场和远区场。如果kr<<1即（r<<λ/(2π)）的区域称为近区，近区场的另一个重要特点是电场和磁场之间存在π/2的相位差，于是坡印廷矢量的平均值为0，能量在电场和磁场以及场与源之间交换而没有辐射，所以近区场也称为感应场，本实验不涉及。

本实验计算的远区场kr>>1（即r>>λ/(2π)的区域称为远区），在此区域内，电基本振子满足条件：

111 kr(kr)2(kr)3则远区场表达式为：

Ilsinejkr2r60IlEjsinejkr （2-2）

rHrHErE0Hj可见场强只有两个相位相同的分量（Eθ,Hφ）。 根据方向函数可定义：

f(,)可得电基本振子的方向函数为：

E(r,,) （2-3）

60I/rf(,)f()根据归一化方向函数定义：

lsin （2-4） F(,)E(,)f(,) （2-5） fmax(,)Emax可得电基本阵子归一化方向函数为：

F(θ,φ)=|sinθ| （2-6）

将方向函数用曲线描绘出来，称之为方向图(Fileld Pattern)。方向图就是与天线等距离处，天线辐射场大小在空间中的相对分布随方向变化的图形。依据归一化方向函数而绘出的为归一化方向图。

在实际中，工程上常常采用两个特定正交平面方向图。在自由空间中，两个最重要的平面方向图是E面和H面方向图。E面即电场强度矢量所在并包含最大辐射方向的平面；H面即磁场强度矢量所在并包含最大辐射方向的平面。

方向图可用极坐标绘制，角度表示方向，矢径表示场强大小。 2． 对称阵子的辐射

对称振子是中间馈电，其两臂由两段等长导线构成的振子天线。一臂的导线半径为a，长度为l。两臂之间的间隙很小，理论上可忽略不计，所以振子的总长度L=2l。对称振子的长度与波长相比拟，本身已可以构成实用天线。

Ol~2alz图2-2 对称振子结构及坐标图

由教材可知对称阵子辐射场为

l60Imejkr60Imcos(klcos)cos(kl)jkrE()jsinsink(lz)ejkzcosdzjelrsin（2-7）

根据方向函数的定义，对称振子以波腹电流归算的方向函数为 ：

f()E()cos(klcos)cos(kl) （2-8）

60Im/rsin上式实际上也就是对称振子E面的方向函数

四、实验内容及步骤：

内容：

根据电基本阵子和对称阵子的方向函数利用MATLAB编程并画出其方向图。 步骤一：

编写MATLAB程序，并保存为*.M文件（*代表文件名自起），详细程序如下：

% 此程序是通过输入偶极子天线的长度及工作波长绘出其方向图 lamda=input('enter the value of wave length= '); %输入波长

l=input('enter your dipole length l= '); %输入偶极子天线长度2L（注意不是单个振子长度L）

ratio=l/lamda; B=(2*pi/lamda);

theta= pi/100:pi/100:2*pi;

if ratio<= 0.1 %分析是否是短偶极子天线 E=sin(theta); En=abs(E);

polar(theta,En) %天线在方向图中水平放置 else

f1=cos(B*l/2.*cos(theta)); %不是短偶极子天线则可用公式（2-8）进行计算 f2=cos(B*l/2); f3=sin(theta); E=(f1-f2)./f3; En=abs(E);

polar(theta,En) %天线在方向图中水平放置 end 步骤二

在MATLAB中打开编写的*.M文件，阅读并分析整个程序，分析每条语句的作用，学习每个命令函数的用法。将程序中的内容和原理部分相对照，找出所编写程序的理论依据，分析程序为什么对公式这样处理。

步骤三

输入波长λ=10，天线长度2L=2，画出天线方向图：

图2-4 天线长度为2时的方向图

步骤四：

输入波长λ=10，振子长度2L=4，画出天线方向图：

图2-5 天线长度为4时的方向图

步骤五：

输入波长λ=10，振子长度2L=13，画出天线方向图：

图2-6 天线长度为13时的方向图

步骤六：

输入波长λ=10，振子长度2L=15，画出天线方向图：

图2-7 天线长度为15时的方向图

步骤七：

输入波长λ=10，振子长度2L=20，画出天线方向图：

图2-8 天线长度为20时的方向图

步骤八：

输入波长λ=10，振子长度2L=30，画出天线方向图：

图2-9 天线长度为30时的方向图

步骤九：

体会振子长度对方向图的影响，方向图发生了哪些变化？分析为什么常用天线多为半波偶极子天线和全波偶极子天线？将实验过程及结果连带分析总结写入实验报告。

注：以下实验1和实验2任选一个

实验1. 利用Matlab模拟带电粒子在磁场中的运动

一、实验目的

（1）理解数值模拟研究物理问题的思路，能独立地运用此方法研究物理问题，掌握数值模拟的编程。

（2）运用Matlab数值模拟的方法研究三维空间中带电粒子在复杂磁场环境下的运动行为。

二、实验原理

带电粒子在磁场中运动时会受到洛伦兹力的作用，且随着初始运动方向和磁场分布的不同，其运动轨迹会发生不同的变化。

由洛伦兹力的推导公式可知，它垂直于粒子的运动速度，不对运动粒子作功，只改变其运动方向，其大小为：

FqBsin；

因此，综合牛顿运动定律就可以精确确定带电粒子在磁场中的运动轨迹。

三、实验内容

1．用Matlab数值模拟的方法模拟带电粒子在恒定磁场中的螺旋运动，即带电粒子进入磁场的方向与磁场方向的角度（090）。

2．用Matlab数值模拟的方法模拟磁聚焦现象，即在均匀磁场中某点引入一发散角不大的带电粒子束，并使束中粒子的速度v大致相同。

四、实验步骤

1. 粒子的螺旋运动

当粒子以与磁场方向呈一定角度的初速度入射磁场后，我们可以将速度分解来平行磁场方向和垂直磁场方向的速度，其中平行磁场方向的速度不受磁场影响，垂直磁场方向的速度会受洛伦兹力的影响而为匀速直线运动。

因此，其运动轨迹是匀速直线运动与匀速圆周运动的合成。利用这个原理，在Matlab里面进行仿真。 2. 磁聚焦现象的模拟：

磁聚焦现象，我们可以看作是一束粒子，在磁场中的运动，只是初速度与磁场的角度很小，且不一定相同。对粒子的初速度进行分解后，可得到：

||cos

vsinv因此对于以不同的入射角进入磁场的粒子，它们都做螺旋运动的圆半径R是不同的，但由于它们的||近似相等，使得这些螺旋圆运动的螺距近似相等。这样，经过一个回旋周期后，这些粒子将重新全聚穿过另一点。利用这个原理，在Matlab里面进行仿真。

五、实验要求

1.实验应认真进行，熟悉Matlab相应的计算与绘图函数，能够独立完成实验内容中的1和2；

2.分析Matlab绘出的电场分布图，并与教材中（P127）的图形进行比较。 完成实验报告，实验报告包括实验目的，实验原理，实验内容，实验总结统一封面。

实验2.磁偶极子仿真实验

一、实验目的

1．熟悉磁偶极子的磁场分布情况； 2．学会使用Matlab绘图；

二、实验内容：

根据毕奥—萨伐尔定律，利用Matlab强大的绘图功能画出磁偶极子的磁场分布情况，包括磁力线。

三、实验原理：

简单地讲, 磁偶极子就是一个圆电流,当其尺寸远远小于场点到该回路的距离时，此圆电流可以视为一个矢量点源，如图（1）所示

图（1） 磁偶极子及其坐标系

设电流强度为I ,圆半径为R。对一个磁偶极子来说,往往用“磁矩”矢量来表示一个磁偶极子的量级。磁矩的定义为

其中, S 为圆电流所围平面的面积,即 为圆电流平面的正法向量（ 由电磁学知识有磁偶极子在轴向

（1）

与的关系符合右手规则）。 上任一点的磁感应强度为

在侧向（过原点且垂直于

（2）

）上任意一点的磁感应强度为

（3）

其中r 为磁偶极子中心至空间点的距离。由此可初步断定,磁偶极子在空间某一点的磁感应强度与其磁矩成正比,与该点距磁偶极子中心距离的三次方成反比。 设磁偶极子所在空间充满磁导率为μ的介质在圆周上任一点P ( R ,π/2 ,θ) 处截取电流元Idl，根据毕奥—萨伐尔定律，该电流元在空间一点M 处所产生的磁

感应强度矢量为

（4）

其中为P 点处的圆周切向量，得

为向量

根据以上公式并对

求积分整理

该式就是空间一点

如果考虑磁矩的概念，则

的磁感应强度三分量表达式。

（5）

（6）

推导至此结束。只要知道磁偶极子的磁矩,空间任一点的磁感应强度矢量均可用上式求得。可以想象，过空间一点只存在一条磁力线，确定磁力线的计算公式为

（7）

其中Δ 为步长, 步长越小, 所绘的磁力线越精确我们利用上式编程,计算并绘

制磁偶极子的磁力线,效果如图（2）所式

图（2） 磁偶极子磁力线及其特征锥面

四、实验步骤

在绘制磁偶极子的场分布时，可以采用等效磁荷观点，将圆电流线圈等效成两个带电量大小相等，方向相反的磁荷。两个点磁荷之间的相互作用力沿着他们之间的联线，与他们之间的距离的平方成反比，与每个磁荷的磁极强度成正比，这就是磁的库仑定律。

空间任意一点的标量磁位为

Um=I**R2*cos/（4** R2 ） （8）

在直角坐标系中可以确定空间任意一点P的坐标与距离R的关系

R=X2+Z2 （9） 因此，只要给定空间任意一点的位置坐标P（X，Z），就可以算出这一点的磁标。

根据磁基本阵子的方向函数，利用MATLAB编程并画出其方向图。

五、实验要求

1.实验应认真进行，熟悉Matlab相应的计算与绘图函数，能够独立完成实验内容；

2.完成实验报告，实验报告包括实验目的，实验原理，实验内容，实验总结统一封面。