高中数学选修一空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 (2)

层级一 学业水平达标

1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( ) A.a2＋b2 C．|b|

B．|a| D．|c|

解析：选D 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|. 2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( ) A．43 C．42

解析：选A |AB|＝错误!＝4错误!.

3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为( ) A．(3，－1,5) C．(3，－1，－5)

B．(－3，－1,5) D．(－3,1，－5) B．23 D．32

解析：选A 由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，－1,5)．

4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )

A．7 C．－1

B．－7 D．1

解析：选D 由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.

5．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )

A．(0,0，3) C．(1,0，3)

B．(0，2，3) D．(1，2，0)

解析：选D 由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，2，0)． 6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．

解析：∵点M(－1，－2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，－y，－z)知，点M关于x轴的对称点为(－1,2，－3)．

答案：(－1,2，－3)

7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.

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解析：由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(－x，y，－z)可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，所以a＝1，c＝0，故所求距离|PO|＝错误!＝错误!.

答案：2

8．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________．

解析：由题意，知点M1的坐标为(－2,0，－3)，点M1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)． 答案：(2,0,3)

9.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．

解：由题意，得点B与点A关于xOz平面对称， 故点B的坐标为(－2,3，－1)；

点D与点A关于yOz平面对称，故点D的坐标为(2，－3，－1)； 点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3，－1)；

由于点A1，B1，C1，D1分别与点A，B，C，D关于xOy平面对称，

故点A1，B1，C1，D1的坐标分别为A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，－3,1)．

10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝4，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1

M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M，N两点间的距离．

解析：由已知条件，得|A1C1|＝22.由|MC1|＝2|A1M|，得|A1M|且∠B1A1M＝∠D1A1M＝

π

.如图，以A为原点，分别以AB，4

＝22

， 3

AD，AA1

所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则

22M，，4，C(2,2,0)，D1(0,2,4)．由N为CD1的中点，可得33

∴|MN|＝ 错误!＝错误!.

N(1,2,2)．

层级二 应试能力达标

1．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A．在x轴上

B．在xOy平面内

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C．在yOz平面内 D．在xOz平面内

解析：选C ∵点A的横坐标为0，∴点A(0，－2,3)在yOz平面内．

2．在空间直角坐标系中，点P(2,3,4)和点Q(－2，－3，－4)的位置关系是( ) A．关于x轴对称 C．关于坐标原点对称

B．关于yOz平面对称 D．以上都不对

解析：选C 点P和点Q的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称． 3．设A(1,1，－2)，B(3,2,8)，C(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( ) A.

13 2

B. D.53 453 2

53C. 2

3解析：选D 利用中点坐标公式，得点P的坐标为2，，3，由空间两点间的距离公式，得2

|PC|＝错误!＝错误!.

4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )

A．9 C．5

B.29 D．26

解析：选B 由已知，可得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝错误!＝错误!.

5．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________．

解析：点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝错误!＝错误!.

答案：101

6．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是________．

解析：因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．

答案：(0，－1,0)

7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．

(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30；

(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短． 解：(1)设P(x,0,0)．

由题意，得|P0P|＝错误!＝错误!，解得x＝9或x＝－1. 所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．

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(2)由已知，可设M(x0,1－x0,0)． 则|MN|＝错误! ＝错误!.

所以当x0＝1时，|MN|min＝51. 此时点M的坐标为(1,0,0)．

8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．

解：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)．

由于M为BD1的中点，

aaaaa所以M，，，取A1C1中点O1，则O1，，a，因为22222a33|NC1|，所以N为O1C1的中点，故N，a，a.

44

由两点间的距离公式可得： |MN|＝ ＝6

a. 4

|A1N|＝

a－a2＋a－3a2＋a－a2 24242

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