课时 余弦定理课时作业 新人教A版必修5
基 础 巩 固
一、选择题
π
1．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝导学号 54742048( C )
4A．10 10
B．
10 55 5
310C．
10
D．
π222
[解析] 由余弦定理，得AC＝AB＋BC－2AB×BC·cos 4＝2＋9－2×2×3×2
＝5.∴AC＝5. 2
由正弦定理，得＝，
sinBsinAACBC∴sinA＝
BCsinB＝AC3×
2
2310＝. 105
2
2
2
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a＋c－b)·tanB＝3ac，则角B的值为导学号 54742049( D )
π
A． 6π5πC．或
66
π
B．
3π2πD．或 33
a2＋c2－b23
[解析] 依题意得，·tanB＝，
2ac2
∴sinB＝
3π2π
，∴B＝或B＝，选D． 233
3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为导学号 54742050( D )
5
A． 18
3B． 4
1
C．3 27D． 8
[解析] 设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，
由余弦定理得
4x＋4x－x7cosA＝＝，
2·2x·2x8故选D．
4．在△ABC中，若a 3πA． 4πC． 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B．锐角三角形 D．不存在 πB． 3πD． 6 2 2 2 2 [解析] 由余弦定理得a＝b＋c－2bccosA＝2b－2bcosA，所以2b(1－sinA)＝2b(1π－cosA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0 6．在△ABC中，若AB＝3－1，BC＝3＋1，AC＝6，则B的度数为导学号 54742053( C ) A．30° C．60° B．45° D．120° AB2＋BC2－AC2[解析] ∵cosB＝ 2AB·BC＝ 3－1＋3＋1－6 23－13＋1 2 2 2 1＝， 2 ∴B＝60°. 二、填空题 7．(2015·天津理，13)在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知△ABC 2 1 的面积为315 ，b－c＝2，cos A＝－， 则a 的值为__8__.导学号 54742054 4 [解析] 因为0 28 b－c＝2， ∴bc＝24，解方程组 bc＝24 2 15 ， 4 得b＝6，c＝4，由余弦定理得a＝b＋c－2bccos A222 122 ＝6＋4－2×6×4×－＝64，所以a＝8. 4 53 8．在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA＝.导学号 54742055 14[解析] ∵c＝a＋b－2abcosC ＝5＋3－2×5×3×cos120°＝49， ∴c＝7. 2 2 2 2 2 acasinC53故由＝，得sinA＝＝. sinAsinCc14 三、解答题 1 9．在△ABC中，已知sinC＝，a＝23，b＝2，求边c.导学号 54742056 21 [解析] ∵sinC＝，且0 66 π3当C＝时，cosC＝， 62 此时，c＝a＋b－2abcosC＝4，即c＝2. 5π3当C＝时，cosC＝－， 62 此时，c＝a＋b－2abcosC＝28，即c＝27. 10．(2015·新课标Ⅱ文，17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC．导学号 54742057 sinB(1)求； sinC(2)若∠BAC＝60°，求∠B． [解析] (1)由正弦定理得＝，＝，因为AD平分∠BAC，BDsinBsin∠BADsinCsin∠CAD 3 2 2 2 2 2 2 ADBDADDCsinBDC1 ＝2DC，所以＝＝. sinCBD2 (2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以sinC＝sin(∠BAC＋∠B)＝13 cosB＋sinB，由(1)知2sinB＝sinC，所以tanB＝，∠B＝30°. 23 能 力 提 升 一、选择题 →→11．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB·AC等于导学号 54742058( D ) 3A．－ 22C． 3 2B．－ 33D． 2 32 →→→→→→ [解析] ∵AB·AC＝|AB|·|AC|·cos →→→→AB＋AC－BC由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB|＝3，|AC|＝2，cos 2AB·AC1. 4 13→→ 故AB·AC＝3×2×＝. 42 12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝13，AC＝4，则边AC上的高为导学号 54742059( B ) 32A． 23C． 2 33B． 2D．33 2 2 2 [解析] 如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝13，AC＝4.∵cosA3＋4－131＝＝， 2×3×42 2 2 2 ∴sinA＝ 3 . 2 4 故BD＝AB·sinA＝3×333＝. 22 13．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为导学号 54742060( B ) π A． 6πC． 2 πB． 32πD． 3 [解析] ∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q， ∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0， 即a＋b－c＝ab. 由余弦定理，得 2 2 2 a2＋b2－c2ab1cosC＝＝＝， 2ab2ab2 π ∵0 14．(2015·广东理，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝，C＝，则b＝1.导学号 54742061 1π5πππ [解析] 因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝，又C＝，所以B＝， 26666 1 2π6 A＝π－B－C＝ 2πab3b，又a＝3，由正弦定理得＝即＝，解得b＝1. 3sin Asin B2ππ sinsin36 15．在△ABC中，已知sinA︰sinB︰sinC＝4︰5︰6，则cosA︰cosB︰cosC＝12︰9︰2.导学号 54742062 [解析] 由正弦定理，得6， 令a＝4k，b＝5k，c＝6k(k>0)， 由余弦定理得 25k＋36k－16k3 cosA＝＝， 2×5k×6k491 同理可得cosB＝，cosC＝， 168 2 2 2 ，得a︰b︰c＝sinA︰sinB︰sinC＝4︰5︰ sinAsinBsinC＝＝ abc 5 391 故cosA︰cosB︰cosC＝︰︰＝12︰9︰2. 4168三、解答题 16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝7 .导学号 54742063 9 (1)求a、c的值； (2)求sin(A－B)的值． [解析] (1)由余弦定理，得b＝a＋c－2accosB，b＝(a＋c)－2ac(1＋cosB)， 7 又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝，∴ac＝9. 9由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3. 7 (2)在△ABC中，∵cosB＝， 9∴sinB＝1－cosB＝ 2 2 2 2 2 2 42 . 9 由正弦定理，得sinA＝asinB22 ＝， b3 12 ∵a＝c，∴A为锐角，∴cosA＝1－sinA＝. 3102 ∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝. 27 17．(2016·山东济南市模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos＋(cosB－3sinB)cosC＝1.导学号 54742064 2 (1)求角C的值； (2)若c＝2，且△ABC的面积为3，求a，b. [解析] (1)∵2cos＋(cosB－3sinB)cosC＝1， 2∴cosA＋cosBcosC－3sinBcosC＝0， ∴－cos(B＋C)＋cosBcosC－3sinBcosC＝0， ∴－cosBcosC＋sinBsinC＋cosBcosC－3sinBcosC＝0， ∴sinBsinC－3sinBcosC＝0. π 又B是△ABC的内角，∴tanC＝3(或2sin(C－)＝0)， 3又C是△ABC的内角，∴C＝ 2 2 AAπ. 3 6 1π (2)∵S△ABC＝3，∴absin＝3，∴ab＝4. 23又c＝a＋b－2abcosC，∴4＝(a＋b)－2ab－ab， ∴a＋b＝4， 又ab＝4，∴a＝b＝2. [点拨] 在有关三角函数的等式中，若出现二次三角式，一般要利用二倍角公式进行降次，然后利用两角和(差)的三角公式进行化简，注意三角形的三个角之间的关系，一般把三个角转化为两个角之间的关系进行求解．表示三角形的面积时要注意公式的选取，一般选用已知角的两边进行表示，涉及三角形的三边与一角时，常选用余弦定理求解． 2 2 2 2 7 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容