函数模型在解题中的应用

★专题探讨　安徽淮北市第十中学（２３５１３９）徐灿辉　函数是高中代数主体内容，函数模型在解题中的　应用较为广泛，许多学生在解决这类问题时，总觉得　无从下笔．现举例加以探讨，供大家参考．　求函数的解析式　一因为　１）＝　（一１）　］一一　一１）一　一１）一Ｏ，　所以，（一１）一Ｏ．　）＝　一１・　）一－－ｆ（ｘ）＋　（一１）一一　），　、【例１】已知２ｆ（ｘ）＋厂（　１）一　，求函数厂（　）　因此，，（　）为奇函数．　四、求函数的周期　【例４】设　（　）是定义在Ｒ上的偶函数，其图　的解析式．　解：。．。２ｆ（ｘ）＋厂（÷）＝　，　Ｏ　’．．２厂（÷）＋厂（　）一｛，　②　１　①×２一②得：３ｆ（ｘ）一２ｘ一｛．　因此　厂（　）一寺（２ｘ一÷）．　二、证明函数的单调性　【例２】设函数，（　）定义域为Ｒ，当ｘ＞Ｏ时，　，（　）＞１，且对任意　、Ｙ∈Ｒ，ｆ（　＋ｙ）一ｆ（　）・　，（　）．　（１）证明：，（Ｏ）一１；　（２）证明：　（　）在Ｒ上是增函数．　证明：（１）设ｘ＝０，　＝１，　ｆ（０＋１）一厂（Ｏ）・厂（１）＝》厂（１）一厂（Ｏ）・厂（１），　’．’，（１）＞１，・’・厂（Ｏ）一１．　（２）设　１＜　２，贝４　２　ｍＸ１＞Ｏ，　Ｘ２）一　Ｘ１）＝ｆ（ｚｌ＋．ＹＥ２－－．ｙＥ１）一　．ＹＥ１）　＝，（　１）＋厂（ｚ２ｍＸ１）一ｆ（ｘ１）　一，（　１）ｆ（ｚ２－－．ＹＥ１），　’。．．ＹＥ２－－．ｙＥ１＞Ｏ，．’．ｆ（ｘ２－－Ｘ１）＞Ｏ．　要证ｆ（ｘｚ）＞，（　・），只要证ｆ（ｘ１）＞Ｏ即可．　当．ＹＥ１＞Ｏ时，ｆ（ｘ１）＞１＞Ｏ；　当　１一Ｏ时，ｆ（ｘ１）一Ｉ＞０；　当　１＜Ｏ时，ｆ（ｘ１）・，（ｍＸ１）一ｆ（ｘｌｍＸ１）　一，（Ｏ）　一１．　又。．。厂（一　１）＞１，．’．Ｏ＜ｆ（ｘ１）＜１，　故对于一切Ｘｌ∈Ｒ，有ｆ（ｘ１）＞Ｏ．　ｆ（ｘ２）－－ｆ（ｘ１）￣ｆ（ｚ１）ｆ（ｚ２－－．ＹＥ１）＞Ｏ，　即ｆ（ｘ２）＞ｆ（ｘ１），　故　）在Ｒ上为增函数．　三、判断函数的奇偶性　【例３】已知，（　）是定义在Ｒ上的不恒为零的　函数，且对于任意的ｎ、ｂＥＲ都满足ｆ（ａ・６）一ｎ，（ｎ）　＋６，（６）．　（１）求厂（Ｏ）、　１）的值；　（２）判断，（　）的奇偶性，并证明你的结论．　解：（１）由　Ｏ）一　０・Ｏ）一Ｏ・厂（Ｏ）＋０ｆ（０）＝０，　得，（Ｏ）一Ｏ，　由　１）一　１・１）一１・　１）＋１・　１），得　１）＝Ｑ　（２），（　）是奇函数．　２４　像关于直线　一１对称，对任意　。、　ｚ∈１　０，专ｌ，都　有，（　ｌ＋　２）＝ｆ（ｘ１）・ｆ（ｘ２），且厂（１）一ｎ＞Ｏ．　（１）求厂（　１）及厂（｛）；　（２）证明，（　）是周期函数．　解：（１）‘．‘厂（１）＝厂（　１十　１）　一厂（　）厂（　）　一　【专）　一ｎ’　’．．厂（　１）＝±　，　又。．。厂（吉）＝厂（｛＋÷）一　（｛）＞ｏ，　・．．厂（　）一ｎ告，同理厂（｛）一ｎ｛．　（２）’．’　（　）是偶函数，．。．　（－－ｘ）一　（　），　’．’厂（　）关于　＝１对称，．。．厂（　）一厂（２一　），　’．．厂（　）一厂（一　）＝ｆ［２一（一　）］一厂（２＋　）　（　∈Ｒ），　这表明，（　）是Ｒ上的周期函数，且２是它的一　个周期．　五、求数列的通项公式　【例５】设，（，２）＞Ｏ（，２∈Ｎ　）对任意自然数，２　和，２ｚ，总有ｆ（ｎｌ＋ｎ２）＝ｆ（ｎ１）・ｆ（ｎ２），且，（２）一４．　（１）求厂（１）、厂（３）的值；　（２）猜想，（　）的表达式，并证明你的猜想．　解：（１）由于任意的自然数　、　ｚ，总有　，（，２ｌ＋，２２）￣ｆ（ｎ１）・ｆ（ｎ２），　ｎｌ—ｎ２＝１，，（２）＝厂（１）・厂（１）＝４，　即尸（１）一４，　‘．‘厂（，２）＞Ｏ（ｎＥＮ　），．’．厂（１）一２，　取，２１＝１，，２２＝２，得厂（３）一２。．　（２）由厂（１）＝２，厂（２）一２　，厂（３）一２。初步归纳猜　想：，（，２）＝２　，　当　一１时，　（１）一２成立；　假设，２＝ｋ时，，（志）＝２　成立．　，（志＋１）＝厂（志）・厂（１）＝２　・２＝２Ｈ　，　这就是说，当　一是＋１时猜想也成立．　由（１）（２）得：对一切，２∈Ｎ　，，（，２）＝２”都成立．