理论力学(盛冬发)课后习题答案ch06

一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)

1．动点速度的大小等于其弧坐标对时间的一阶导数，方向一定沿轨迹的切线。 ( √ ) 2． 动点加速度的大小等于其速度大小对时间的一阶导数，方向沿轨迹的切线。 ( × ) 3．在实际问题中，只存在加速度为零而速度不为零的情况，不存在加速度不为零而速度为零的情况。 ( × ) 4．两个刚体做平动，某瞬时它们具有相同的加速度，则它们的运动轨迹和速度也一定相同。

( × ) 5．定轴转动刚体的角加速度为正值时，刚体一定越转越快。 ( × ) 6．两个半径不等的摩擦轮外接触传动，如果不出现打滑现象，两接触点此瞬时的速度相等，切向加速度也相等。 ( √ )

二、填空题

1. 描述点的运动的三种基本方法是矢径法、直角坐标法和自然坐标法。

2. 点做圆周运动，加速度由切向加速度和法向加速度组成，其中切向加速度反映了速度大小随时间的变化率，方向是沿圆周的切线；法向加速度反映了速度的方向随时间的变化率，方向是沿圆周的法线。

d2sds3. 质点运动时，如果和2同号，则质点做加速运动，反之则做减速运动。

dtdt4. 刚体运动的两种基本形式为平动和定轴转动。

5. 刚体平动的运动特征是刚体在运动的过程中其内的任一直线始终和原来的位置平行。 6. 定轴转动刚体上点的速度可以用矢积表示，它的表达式为vωr；刚体上点的加速度可以用矢积表示，它的表达式为aεrωv。

7. 刚体绕定轴转动时，在任一瞬时各点具有相同的角速度和角加速度，且各点轨迹均为 圆周。

8. 定轴转动刚体内点的速度分布规律为任何一条通过轴心的直径上各点的速度，若将速度矢的端点连成直线，此直线通过轴心。

9. 半径均为R的圆盘绕垂直于盘面的O轴做定轴转动，其边缘上一点M的加速度如图6.23所示，试问两种情况下圆盘的角速度和角加速度的大小分别为：图(a)：0；

a。图(b)：Ra；0。 R·61·

62· · 理论力学 M a M a O R O R (a) (b) 图6.23

三、选择题

1 一点做曲线运动，开始时速度v012m/s，某瞬时切向加速度a4m/s2，则t2s时该点的速度大小为( D )。

(A) 4m／s (B) 20m／s (C) 8m／s (D) 无法确定

2 图6.24的四图中，哪个图表示的情况可能发生？( d )

v v M a v M a M M a a=0 (a) (b) v0 (c) (d) 图6.24

(A) 当vA

3 某瞬时，刚体上任意两点A、B的速度分别为vA、vB，则下述结论正确的是( C )。

vB时，刚体必做平动

(B) 当刚体平动时，必有

vAvBvB

，但vA与vB的方向可能不同

(C) 当刚体平动时，必有vA(D) 当刚体平动时，vA与vB的方向必然相同，但可能有vAvB

4 圆盘绕O轴转动，其边缘上一点M的加速度为a，但方向不同，如图6.25所示(a)、(b)、(c)三种情况。下列四组答案中哪种正确？( C )

(A) 10， 20 (B) 10， 30 (C) 30， 10

a M (D) 20， 10

M M a 1 O 1 2 O a 2 3 O 3 (a) (b) 图6.25

(c)

5 如图6.26所示的荡木机构中，O1O2 = CD，O1C = O2D = 1m，在图示位置时O1C、O2D的角速度为 = 1rad/s，角加速度为=2rad／s2，则荡木中点M的加速度为( D )。

·62·

第6章 运动学基础 ·63· (A) am1m/s (C) am2

(B) am2m/s

(D) am22m/s2 5m/s2

6 如图6.27所示为某刚体作定轴转动的俯视图，但不知道转动中心，已知在某瞬时有vM0.2m/s，aM0.32m/s2，45。求出转动中心到M间的距离x以及此瞬时刚体

转动的角速度和角加速度，下列四组结果中( C )是正确的。

(A) x15/2cm，3/2rad/s，9/4rad/s (B) x40/3cm，3/2rad/s，5/4rad/s (C) x40/3cm，3/2rad/s，9/4rad/s (D) x25/2cm，5/2rad/s，5/4rad/s

2222 O1 O2  C M D aM M vM

图6.26 图6.27

7 图6.28所示的平面机构中，O1A = O2B = L，O1O2 = AB，则ABCD刚性平板上点M的运动轨迹为( C )。

(A) 以O1为圆心，O1M为半径的圆 (B) 一条平行于AB的直线

(C) 以O4为圆心，O4M为半径的圆(O4M = L) (D) 以O3为圆心，O3M为半径的圆(O3M平行O1A)

O1 O3 O4 A M C 图6.28

O2 B D

8 动点作匀加速曲线运动，则( D )是正确的。

(A) a0，an0 (B) a0，an0 (C) a0，an0 (D) a0，an0

9 满足下述哪个条件的刚体运动一定是平动？( D )

(A) 刚体运动时，其上某直线始终与其初始位置保持平行

(B) 刚体运动时，其上有不在同一条直线上的三点始终作直线运动 (C) 刚体运动时，其上所有点到某一固定平面的距离始终保持不变 (D) 刚体运动时，其上任一直线始终与其初始的位置保持平行

10 刚体平动时，其上任一点的轨迹可能是( B )。

·63·

64· · 理论力学 (A) 平面任意曲线 (B) 空间任意曲线 (C) 空间固定曲线 (D) 任一直线

11 如图6.29所示的运动刚体中，只有( A )中的刚体ABC作平动。

O1 A B A C (O1A = O2B) O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 B A C (O1A∥O2B) (D) B A B C (O1A∥且 = O2B)

(A) C (O1 A = O2B) (C) (B)

图6.29

12 刚体绕定轴转动时，下述哪种说法正确？( D )

(A) 当转角0时，此时角速度必为正 (B) 当角速度0时，此时角加速度必为正

(C) 当角加速度0时为加速转动，反之0时为减速转动 (D) 当角加速度与角速度同号时为加速转动，反之为减速转动

13 刚体绕定轴转动，r为点的矢径，ω为角速度矢，ε为角加速度矢。下面用矢量法表示点的速度和加速度的公式中，正确的一组是( A )

(A) vωr，aτεr，anωv (B) vrω，aτεr，anωv (C) vrω，aτrε，anvω (D) vrω，aτrε，anvω

14 绳子的一端绕在定滑轮上，另一端与物块B相连，如图6.30所示，若物块B的运动方程为xkt2，其中k为常数，轮子半径为R，则轮缘上点A的加速度大小为 ( )。

(A) 2k

(B)

4k2t2/R

k4R216k2t422(C) (D) 2k4kt/R

R15 滑轮上绕一细绳，绳与轮间无相对滑动，绳端系一物块A，如图6.31所示。A物块与滑轮边缘上点B的速度和加速度间关系为( D )

(A) (C)

vAvB， aAaB vAvB， aAaB

(B) (D)

vAvB， aAaB

vAvB， aAaB

·64·

第6章 运动学基础 ·65· R A  O O B x B A

图 6.30 图 6.31

四、计算题

6-1 点M的运动方程为xl(cosktsinkt)，yl(cosktsinkt)，式中长度l和角频率k都是常数，试求点M的速度和加速度的大小。

解：应用直角坐标法，将运动方程中直角坐标对时间求一阶导数，得到动点的速度在直角坐标轴上的投影，即

vxdxdylk(cosktsinkt)，vylk(cosktsinkt) dtdt上式分别再对时间求导数，可得动点加速度在相应坐标轴的投影，即

axdvydvxlk2(cosktsinkt) lk2(cosktsinkt)，aydtdt6-2 点M按sRsint的规律沿半径为R的圆周运动，设A为弧坐标原点，其正向如图6.32所示。试求下列各瞬时点M的位置、速度和加速度。

(1) t0； (2) t； (3) t

32解：应用自然坐标法，点M的位置、速度和加速度分别表示为

dsdvv22Rcost，aRsint，anR2cos2t sRsint，vdtdtR（1）当t0时，s0，vR，a0，anR2

1133时，sR，vR，aR2，anR2

24223（3）当t时，sR，v0，aR2，an0

2（2）当t·65·

66· · 理论力学 y M O B M A R  O R x

图 6.32 图 6.33 A s

6-3 在半径为R的铁圈上套一小环，另一直杆AB穿入小环M，并绕铁圈上的A轴逆时针转动t (常数)，铁圈固定不动，如图6.33所示。试分别用直角坐标法和自然坐标法写出小环M的运动方程，并求其速度和加速度。 解：(1) 应用直角坐标法，点M的运动方程为 xRcos2t，yRsin2t 其速度可表示为

vx 其加速度可表示为

axdvydvx4R2sin2t 4R2cos2t，aydtdtdxdy2Rsin2t，vy2Rcos2t dtdt (2) 应用自然坐标法，点M的运动方程为

s2R2Rt

其速度可表示为

vds2R dt其加速度可表示为

advv20，an4R2 dtR6-4 椭圆规尺BC长为2l，曲柄OA长为l，A为BC的中点，M为在BC上一点且MA = b，如图6.34所示。曲柄OA以等角速度绕O轴转动，当运动开始时，曲柄OA在铅垂位置。求点M的运动方程和轨迹。 解：应用直角坐标法，点M的运动方程为

xM(lb)sint，yM(lb)cost 其轨迹可表示为

2xM2yM(lb)2(lb)21

6-5 如图6.35所示，AB长为l，以等角速度绕点B转动，其转动方程t。而与杆连接的滑块B按规律sabsint沿水平作谐振动，其中a和b均为常数，求A点的轨

·66·

第6章 运动学基础 ·67· 迹。

解：应用直角坐标法，点A的运动方程为

xabsintlsint，ylcost 其轨迹可表示为

y B l y (xa)2(bl)2y2l21

B O x A M O  b l  x

C 图6.34 图6.35

A

6-6 曲柄滑块机构如图6.36所示，曲柄OA长为r，连杆AB长为l，滑道与曲柄轴的高度相差h。已知曲柄的运动规律为t，是常量，试求滑块B的运动方程。

b y O  r A l B A O x C  h x u

图6.36 图 6.37

解：建立如图所示的坐标系，应用直角坐标法，滑块B的运动方程为

x xBrcostl2(rsinth)2，yBh

6-7 如图6.37所示，滑块C由绕过定滑轮A的绳索牵引而沿铅直导轨上升，滑块中心到导轨的水平距离AO = b。设将绳索的自由端以匀速度u拉动，试求重物C的速度和加速度分别与距离OC = x间的关系式。不计滑轮尺寸。

解：建立如图所示的坐标系，应用直角坐标法，滑块C的速度和加速度分别可表示为

vdxdv，a dtdt·67·

68· · 理论力学 由题意，可知

db2x2 u

dtxdx即u，这样，有

22dtbxvdxu2bx2 dtx上式两边同时对时间求导数，有

dvu2b2a3

dtx6-8 机构如图6.38所示，曲杆CB以匀角速度绕C轴转动，其转动方程为t，通过滑块B带动摇杆OA绕轴O转动。已知OC = h，CB = r，求摇杆的转动方程。

解：由图可知

tanrsint

hrcostrsint

hrcost故摇杆的转动方程为

arctan6-9 摇筛机构如图6.39所示，已知O1A = O2B = 40cm，O1O2 = AB，杆O1A按1sintrad规律摆动。求当t = 0s和t = 2s时，筛面中点M的速度和加速度。

24解：由题可知，筛子作平动，筛面中点M的速度和加速度和A点或B点的速度和加速度相同。A点按自然坐标表示，其运动方程为 sO1A20sint 4其速度和加速度只须分别对上式取一阶和二阶导数，即、

ds vM5cost

dt42vM252dv52n2aMcost，aMsint

O1A404dt44当t0s时，有vM当t2s时，有vM

25215.7cm/6.17cm/s2，aM0

4052n0，aM0，aM12.3cm/s2

4ns，aM·68·

第6章 运动学基础 ·69·

C  A

A B M B  h 错误!未找到引用源。

O 图6-39

图6-38

O1 O2

6-10 如图6.40所示的摇杆机构，初始时摇杆的转角0，摇杆的长OC = a，距离



OB = l。滑杆AB以等速v向上运动，试建立摇杆上点C的运动方程，并求此点在时

4

的速度。

解：由图可知，C的坐标xC、yC可分别表示为

l2(vt)2lvt xCyCa即点C的运动方程可表示为

xCall(vt)22，yCavtl(vt)22

vCx

dxCdyCalv2tavl222，vCy dtdt[l(vt)2]3/2[l(vt)2]3/2当

avav

时，有vtl，即vCx，vCy，即 422l22lav22 vCvCxvCy2l6-11 如图6.41所示，偏心凸轮半径为R，绕O轴转动，转角t(为常量)，偏心

距OC = e，凸轮带动顶杆AB沿铅直线做往复运动，试求顶杆的运动方程和速度。 解：顶杆作平动，顶杆运动可用顶杆上任一点（如A点）的运动来表示。建立如图所示的直角坐标系。应用直角坐标法，A点的运动方程为

yesinR2e2cos2esintR2e2cos2t

对上式求一阶导数，可得到其速度

dyesin2te[cost] v222dt2Recost·69·

70· · 理论力学 y C a A v y B A R C O O  l B x  x 图6.40 图6.41

6-12 如图6.42所示为曲柄滑杆机构，滑杆上有一圆弧形滑道，其半径R = 0.1m，圆心O1在导杆BC上。曲柄长OA = 0.1m，以等角速度4rad/s绕O轴转动。求导杆BC的运动规律及当曲柄与水平线间的夹角45时，导杆BC的运动速度和加速度。

解：导杆BC作平动，其运动方程可用其上任一点（如O1点）的运动方程来表示。为了方便，不妨假设在运动的初始时刻曲柄处于水平向右的位置。以O点为原点，通过O点的水平轴为x轴，O1点的运动方程为

x0.1cos0.1cos0.2cos4t

对上式分别对时间求一阶和二阶导数，可得导杆BC运动的速度和加速度分别为

dxdv v0.8sin4t，a3.2cos4t

dtdt当4t45时，有v0.8sin45o0.566m/s，a3.2cos45o2.263m/s2

6-13 如图6.43所示，滑块以等速v0沿水平向右移动，通过滑块销钉B带动摇杆OA绕O轴转动。开始时，销钉在B0处，且OB0 = b。求摇杆OA的转动方程及其角速度随时间的变化规律。

 O A R B0 b B O1 C O  B A v0 

·70·

第6章 运动学基础 ·71· 图6.42 图6.43

v0t，即摇杆OA的转动方程为 bvtarctan0(rad)

b对上式求一阶导数，可得摇杆转动角速度为

bvtd2022(rad/s)

dtbv0t解：由图可知，有tan6-14 汽轮机叶片轮由静止开始作等加速转动。轮上点M离轴心为0.4m，在某瞬时其全加速度的大小为40m/s2，方向与点M和轴心连线成30角，如图6.44所示。试求叶轮的转动方程，以及当t = 6s时点M的速度和法向加速度。

解：点M在某瞬时的切向和法向加速度分别为

2n2 aMasin20m/s，aMacos203m/s

而aMr，即

a20 M50rad/s2

r0.4由于叶片轮由静止开始作等加速转动，可知叶轮的转动方程为 1 t225t2

2对上式求一阶导数，可知叶片转动的角速度为

d 50t

dt当t = 6s时，M的速度为

vr0.4300120(m/s) M的法向加速度为

naMr20.4300236000(m/s2)

6-15 如图6.45所示圆盘绕定轴O转动，某瞬时点A速度为vA0.8m/s，OAR0.1m，同时另一点B的全加速度为aB与OB线成角，且tan0.6，求此时圆盘角速度及角加速度。

 O M B  a aB  O A  υA

·71·

72· · 理论力学 图6.44 图6.45

解：由A速度可知此时圆盘绕定轴O转动的角速度为

v0.8 A8rad/s

OA0.1B

n的法向加速度为aBOB，切向加速度为aBOB，而tan2aBnaB。故有圆盘2转动角加速度为

2tan640.638.4rad/s2

由vA速度的方向可知圆盘作顺时钟方向转动，而由aB方向可知圆盘的角速度方向为逆时钟方向。为了说明角速度和角速度转向的区别，可取38.4rad/s2。

6-16 边长为1002mm的正方形刚体ABCD做定轴转动，转轴垂直于板面。点A的速度和加速度大小分别为vA100mm/s，aA1002mm/s2，方向如图6.46所示。试确定转轴O的位置，并求该刚体转动的角速度和角加速度。

解：由vA的方向可知转轴位于正方形的对角线AC上。由aA方向可知A点的法向加速度为

no2aAaAsin45o100mm/s2，aAaAcos45100mm/s

而anA2vA，故

2vAn100mm

aA可知转轴O位于正方形的中心。该刚体转动的角速度和角加速度分别为

D vA1rad/s，C aA1rad/s2

 O  A aA 45 B A C vA • D B

图6.46 图6.47

6-17 如图6.47所示的半径为r的定滑轮作定轴转动，通过绳子带动杆AB绕点A转动。某瞬时角速度和角加速度分别为和ε，求该瞬时杆AB上点C的速度和加速度。已知

ACCDDBr。

解：在图示瞬时，D点向上运动，其运动的速度和切向加速度分别为

·72·

第6章 运动学基础 ·73· vDr，aDr 由于杆AB绕点A转动，故AB杆转动的角速度为和角速度为

avDrr AB ，ABDAD2r2AD2r2杆AB上点C的速度和加速度分别为

111n2 vCr，aCrABr2，aCrr

2426-18 如图6.48所示的卷扬机，鼓轮半径r0.2m，绕过点O的水平轴转动。已知鼓

1轮的转动方程为t3rad，其中t的单位为s，求t = 4s时轮缘上一点M的速度和加速度。

8 解：首先由转动方程求t = 4s时鼓轮的转动的角速度和角加速度

ddtt43t286rad/s，t4ddtt43t3rad/s2 4t4再求轮缘上一点M的速度和加速度

n2r27.2m/s2，a vr1.2m/s，aMMr0.6m/s

6-19如图6.49所示，齿轮A以转速n = 30(r／min)旋转，带动另一齿轮B，刚接于齿轮B的鼓轮D亦随同转动并带动物体C上升。半径r10.3m，r20.5m，r30.2m，求物体C上升的速度。

M n  O r3 r2 D B r1 A C 图6.48 图6.49

解：齿轮A以转动的角速度为A B物体C上升的速度为

2n(rad/s)，齿轮B转动的角速度为 60r1A0.6(rad/s) r2vCBr30.377(m/s)

6-20 图6.50所示为一摩擦传动机构，主动轴Ι和从动轴II的轮盘分别用A和B表示，它们的半径分别为r50mm和R150mm，两轮接触点按图示方向v移动。已知主动轴I的转速为n = 600r／min，接触点到转轴II的中心的距离d按规律d(1005t)mm(式中t

·73·

74· · 理论力学 以s为单位)而变化。求

(1) 以距离d表示轴II的角加速度；

(2) 当d = r时，轮B边缘上一点的全加速度。

2n 解：（1）主动轴Ι的角速度为120(rad/s)，从动轴II的角速度为

60r1000 21(rad/s)

d1005t轴II的角加速度为

d2500050002 2(rad/s) 22dt(1005t)d （2）当d = r时，从动轴II的角速度和角速度分别为 220(rad/s)，22(rad/s2) 轮B边缘上一点的加速度为

20.154002602(m/s2) anR2aR20.1520.3(m/s2)

轮B边缘上一点的全加速度为

a(an)2(a)2592.2(m/s2)

6-21 在如图6.51所示仪表结构中，齿轮1，2，3和4的齿数分别为z16，z224， z38，z432；齿轮5的半径为5cm，如齿条B移动1cm，求指针A所转过的角度。 解：齿条B移动1cm，齿轮5转过的角度为  50.2rad

r5此时指针A所转过的角度为

z2z453.2rad z1z3B n I B 1  v A A r 4 5 2 3 R II d ·74·

第6章 运动学基础 ·75· 图6.50 图6.51

z284，z328，6-22 车床的传动装置如图6.52所示。已知各齿轮的齿数分别为z140，z480。带动刀具的丝杠的螺距为h212mm。求车刀切削工作的螺距h1。

解：由齿轮转动时传动比的定义有

zz 12，34

2z14z3zz将上两式相乘，有1324。对于同轴齿轮z2和z3，角速度相同，即23。

24z1z3这样有

1z2z4 4z1z3当齿轮z1转动一周时，车刀移动的距离为h1。而齿轮z1转动一周时，齿轮z4转过的周数n为 即n11z2z4 n4z1z3z1z3402811。齿轮z4转过n圈，车刀移动的距离为 z2z48480661 h1h22mm

66-23 在图6.53所示的机构中，齿轮I紧固在杆AC上，AB = O1O2，齿轮I和半径为

r2的齿轮II啮合，齿轮II可绕O2轴转动且和曲柄O2B没有联系。设O1A=O2B=l，bsint，

试确定ts时，齿轮II的角速度和角加速度。

2 解：如图所示，杆AC和齿轮I是一个整体，作平动。故点A和啮合点D具有相同的速度

vDvAl和加速度

aDaAldblcost dt2blsint

d2dt2当ts时，齿轮II的角速度和角加速度分别为 22a2Dr2vDr2blcosr220

22blsinr22bl

r2·75·

76· · 理论力学 h1 vA A aA C B I z1 vD naA aDO2 naD D z2 z3 h2 O1  II z4 图6.52 图6.53

6-24 两轮I，II半径分别为r1100mm，r2150mm，平板AB放置在两轮上，如 图6.54所示。已知轮I在某瞬时的角速度12rad/s，角加速度10.5rad/s2，方向逆时针转向。求此时平板移动的速度和加速度以及轮II边缘上一点C的速度和加速度(设两轮与板接触处均无滑动)。

解：平板移动的速度和加速度分别为

vABr110.120.2m/s aABr110.10.50.05m/s2 轮II边缘上一点C的速度为

vCvAB0.2m/s 加速度为

naC2vC0.22aAB0.05m/s2 0.267m/s2，aCr20.156-25 如图6.55所示的半径都是2r的一对平行曲柄O1A和O2B以匀角速度0分别绕

O1和O2轴转动，固连于连杆AB的中间齿轮I带动同样大小的定轴齿轮II绕O轴转动。两

齿轮的半径均为r，试求齿轮I和轮II节圆上任一点的加速度的大小。

A r2 II O1 r1 I B vA A vD I B O2 0 1 2 O O2 a O1 nAD II 1 C 图6.54 图6.55

解：如图所示，杆AB和齿轮I是一个整体，作平动。故点A和啮合点D具有相同的速度

vDvA2r0

·76·