广东省珠海市高一数学竞赛试题

珠海市高中数学竞赛（高一卷）

一、选择题（每题6分共36分）

1. 如果集合A{x|xN,0x6}，则A的真子集有（ ）个 （A）31 （B）32 （C）63 （D）64

2如果偶函数f(x)在区间［1，4］上是增函数且最大值是3，那么f(x)在区间［-4，-1］上是

（A）增函数且最大值为-5 （B）增函数且最小值为-5 （C）减函数且最大值为-5 （D）减函数且最小值为-5 3．函数ylog1(x23)的定义域是（ ）

3（A）[2,3][3,2] （B）[2,3)(3,2] （C）(3,3) （D）[3,3]

4．二次函数yx2ax4在(,1]上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A .(,2]； B .[2,)； C .(,2]； D .(,1] 5．方程lgxx0的一个实根存在的区间是（ ） （参考：lg201.3010,lg0.30.5229） 1111111 （A）, （B）,1 （C）, （D）,

113232100106. 设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如

f(123)12223214.记f1(n)f(n)，fk1(n)f(fk(n))，k1,2,3,，则f2006(2006)＝（ ）

(A) (B) 4 (C) 42 (D) 145. 二、填空题（每题6分共54分） 7．已知f(x11)(x)2，则f(x) . xxlog1x,x148.已知函数f(x)x,0x1 则f(f(2))_______________.

2x,x09. 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)2ln(x1)；则当x0时，f(x)_____________________.

x

10.已知5()a13b511，则 . 3ab11. 将函数f(x)的图象C1沿ｘ轴向右平移2个单位得到C2，C2关于ｙ轴对称的图象为C3，若C3对应的函数为y2，则函数f(x)的表达式为_______________.

12. 如果方程lgx(lg3lg5)lgxlg3lg50的两根是和，则的值是_______________. 13. 已知a12x2，a222，a3222，…，则与a20最接近的正整数

是_______________.

x2(x1)的值域是_______________. 14. 函数yx115.对a,bR,记max{a,b}=a,ab，函数（fx）＝max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是 ．

b,a＜b三、解答题(共60分)

16.（10分）解方程：43240．

17.（15分）已知函数f(x)xxx2(x0)，求它的单调区间． x 18．（15分） 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元。该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元。根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件。 （I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数（II）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？ （服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本）

19. （对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即

的表达式；

A{x|f(x)x}，B{x|f[f(x)]x}.

(1). 求证：AB ；

(2).若f(x)ax1(aR,xR)，且AB，求实数a的取值范围.

2

珠海市高中数学竞赛（高一卷）参考答案

一、选择题（每题6分共36分） 1)C 2)B 3)B 4) A 5)C 6)D 二、填空题（每题6分共54分）

11x 9)2ln(x) 10)1 11)2(x2)(或等价形式) 12) 13)2 215314)(,0] 15)．

27)x4 8)

2三．解答题（共60分）

16．(10分)解:设2t,t0 ,得(t4)(t1)0,(5分)t14(不合题意,舍去),t21 得21,x0(10分)

17．(15分)解:设x1和x2是区间[5,)上任意两个实数,且x1x2,…(给2分)

则f(x1)f(x2)x1xx555(x2) (给4分)=(x1x2)(1) (给9分) x1x2x1x2551,10 (给11分) x1x2x1x2x15,x25,x1x25,x1x2,x1x20 f(x1)f(x2) (13分)

f(x)在区间[5,)上单调递增. …(15分) 注:(5,)也给满分,因式分解正确给5分.

1８．（15分） 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元。该

厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元。根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件。 （I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数（II）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？ （服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本） 解：（I）当时，……2分 当

时，

……5分

的表达式；

所以……7分

（II）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则

……12分

当时， ……14分

因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元。……15分

1９. （２０分）对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即

A{x|f(x)x}，B{x|f[f(x)]x}.

(1). 求证：AB

(2).若f(x)ax1(aR,xR)，且AB，求实数a的取值范围. 证明(1).若A=φ，则AB 显然成立；……２分 若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 AB. ……６分 解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即ax1x的实根.

22a01 由 A≠φ，知 a=0 或  即 a……９分

414a03422 B中元素是方程 a(ax1)1x 即 ax2axxa10（*）的实根

22由AB，知方程（*）左边含有一个因式axx1，即方程可化为 (axx1)(axaxa1)0

因此，要A=B，即要方程 axaxa10 ①

要么没有实根，要么实根是方程 axx10 ② 的根. ……１３分 若①没有实根，则2a4a(1a)0，由此解得 a222222222223……1６分 4若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 axaxa，代入①有 2ax+1=0.

111310,由此解得 a.……1８分 ,再代入②得

2a4a2a413故 a的取值范围是 [,] ……２０分

44由此解得 x