奔驰定理：三角形四心向量式完美结合

已知O是ABC内的一点，BOC,AOC,AOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：

SA•OASB•OBSC•OC0

A如图2延长OA与BC边相交于点D则 O

BDSABDSBODSABDBCDCSSSBODSC ACDCODSACDSCODSB

图1

ODDCBCOBBDBCOC A O SBSSOBSCOCBCSS

BCBDC

 ODSBODOASSCODSBOASBODSCODSSA COASBOACOASBSC图2

 ODSAOA

SBSC

SAOASBSOBSCSSOC

BSCBSCBSCSA•OASB•OBSC•OC0

推论O是ABC内的一点，且

x•OAy•OBz•OC0，则

SBOC:SCOA:SAOBx:y:z

有此定理可得三角形四心向量式

O是ABC的重心

SBOC:SCOA:SAOB1:1:1OAOBOC0

O是ABC的内心

SBOC:SCOA:SAOBa:b:ca•OAb•OBc•OC0

O是ABC的外心

 SBOC:SCOA:SAOBsin2A:sin2B:sin2C sin2A•OAsin2B•OBsin2C•OC0

O是ABC的垂心

SBOC:SCOA:SAOBtanA:tanB:tanC tanA•OAtanB•OBtanC•OC0

COADB

证明：如图O为三角形的垂心，tanACDCDAD,tanBDBtanA:tanBDB:ADSBOC:SCOADB:AD

SBOC:SCOAtanA:tanB

同理得SCOA:SAOBtanB:tanC，SBOC:SAOBtanA:tanC

SBOC:SCOA:SAOBtanA:tanB:tanC

★奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

思维训练之---三角形“四心”与向量的完美结合

一．知识梳理：

四心的概念介绍：

(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。  与“重心”有关的向量问题

1 已知G是△ABC所在平面上的一点，若GAGBGC0，则G是△ABC的( )．

A．重点

B．外心 C．内心 D．垂心

2已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABAC)，(0，)，则P的轨迹一定通过△ABC的( ).

A．重点

B．外心

C．内心

D．垂心

3 .O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），

则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心

 与“垂心”有关的向量问题

4.P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是△ABC的( )

A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

5.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOAABAC，(0，ABcosBACcosC)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )．

A．重点

B．外心 C．内心 D．垂心

6.若H为△ABC所在平面内一点，且HA2BC2HB2CA2HC2AB2 则点H是△ABC的( )

A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

 与“内心”有关的向量问题

7.已知I为△ABC所在平面上的一点，且ABc，ACb，BCa ．若aIAbIBcIC0，则I是△ABC的( )

A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

8.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足 OP OAABAC，(0，)，则动点P的轨迹通过△ABC的( )． ABACA．重点

B．外心

C．内心

D．垂心

9.若O在△ABC所在的平面内：=，

则O是△ABC的（ ）

A．垂心 B．重心 C．内心

D．外心

 与“外心”有关的向量问题

10.已知O是△ABC所在平面上一点，若OA2OB2OC2，则O是△ABC的( )．

A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

11.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOBOCABAC2，(0，ABcosBACcosC)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )。 A．重点

B．外心 C．内心 D．垂心

 四心的相互关系

1.三角形外心与垂心的向量关系及应用

设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是OHOAOBOC。 2.三角形外心与重心的向量关系及应用

设△ABC的外心为O，则点G为△ABC的重心的充要条件是OG13(OAOBOC)

3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用

设△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H三点共线（O、G、H三点连线称为欧拉线），且OG12GH。

相关题目

12．设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使．

求证：（1）H是△ABC的垂心；

（2）O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．

13.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OHm(OAOBOC)，则m =

14.已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AMxAB，

，求2x+y的最小值?

巩固练习：

1．若，，均为单位向量，且•＝﹣，＝x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（ ） A．2 B．

C．

D．1

2．已知O为三角形ABC所在平面内一点，，则S△OBC：S△ABC＝（ ）

A．

B．

C．

D．

3．在△ABC内使AP2+BP2+CP2的值最小的点P是△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 4．已知D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且满足

＝

，

＝

，

＝λ

（+）（λ∈R），•＝•，＝μ（+）（μ∈R）．则＝

（ ）

A．

B．

C． D．

5．在△ABC中，若

＝

+

，记S1＝S△ABD，S2＝S△ACD，S3＝S△BCD，则下列结论正确的是（ ）

A． B．

C． D．

6．已知直线x+y＝2a与圆x2+y2＝4交于A，B两点，O是坐标原点，向量，满足|+|＝|﹣|，则

实数a的值为（ ） A．2

B．2或﹣2

C．1或﹣1

D．

或

7．已知下列命题： （1）

；（2）； （3）； （4）；

（5）∥⇔存在唯一的实数λ∈R，使得； （6）为单位向量，且∥，则＝±||•；

（7）

； （8）与共线，与共线，则与共线； （9）若

；

（10）若＝，＝，与不共线，则∠AOB平分线上的向量为，λ由确定．

其中正确命题的序号 ． 8．在△ABC中，AC＝6，BC＝7，

，O是△ABC的内心，若

，其中0≤x≤1，0≤y≤1，

则动点P的轨迹所覆盖的面积为 ．

（ABDDCC (1)(4)(6)(7)(10)）