初三奥林匹克数学竞赛方法思路讲解及经典题型分析 第14套题

初三奥林匹克数学竞赛

方法思路讲解及经典题型分析

…………第十四节…………

高斯函数、三角形的四心

1 符号[x]及{x}的定义： 设x是实数，不大于x的最大整数叫做x的整数部分，记作[x]，函数y=[x]叫做高斯函数，记{x}=x-[x]，称{x}为x的小数部分。如：[4.5]= 4；[-3.4]= - 4；[]=3；221。

2 [x]和{x}的基本性质：<1> 0≤{x}＜1；<2> x-1＜[x] ≤x＜[x]+1；<3> x=[x]+{x}；<4> x为整数、[x]=x、{x}=0三者之中若有一个成立，则另两个也成立；<5> 若n为整数，则[n+x]=n+[x]，{n+x}={x}。

13 求1667的值。

4 求1234100的值。

2[x]y25 若x、y满足方程组：3[x2]y16 则[x+y]=____。

6 求方程x+2{x}=3[x]的非零解。

1

7 解方程[x]2-[x-4]-6=0 。

8 解方程[x]2=x{x} (x＞0)。

9 解不等式[x]{x}＜x-1 。

10

已知[x]=[y]，求证：xy＜1 。

11 在△ABC中，点D、E是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，当∠A=60o时，求∠

BDE的度数。

12

在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：

△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆。

2

13

H为△ABC的垂心，O为外心，OK⊥BC于K，延长AH交BC于D，OK=2，

KD=2，求四边形OKHA的面积。

14

设O为锐角△ABC的外心，外接圆半径为R，连结AO，BO，CO并延长分别交

111对边于L，M，N，求ALBMCN的值。

3

15

已知∠ACE=∠CDE=90o，点B在CE上，CA=CB=CD，过A，C，D三点的圆

交AB于F。求证：F为△CDE的内心。

16 的值。

若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB=4，PD=3，求ADDE

4

5