2010山东省泰安市中考数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）|﹣5|的倒数是（ ） A．
B．﹣ C．5
3
2
3
D．﹣5
2．（3分）计算（a）•a的结果是（ ） A．a
8
B．a
9
C．a D．a
1011
3．（3分）下列图形其中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（3分）函数y=2x+1与函数图象上的是（ ）
A．（﹣2，﹣5） B．（，4） C．（﹣1，10） D．（5，2）
5．（3分）如图，l1∥l2，l3⊥l4，∠1=42°，那么∠2的度数为（ ）
的图象相交于点（2，m），则下列各点不在函数
的
A．48° B．42° C．38° D．21°
6．（3分）如图，数轴上A、B两点对应的实数分别为a，b，则下列结论不正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＜0
C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
7．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积是（ ）
A．36π B．60π C．96π D．120π
8．（3分）下列函数：①y=﹣3x；②y=2x﹣1；③值随x值的增大而增大的函数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（3分）如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（ ）
；④y=﹣x+2x+3．其中y的
2
A．AD=CF
B．BF=CF
C．AF=CD
D．DE=EF
10．（3分）如图所示的两个转盘，每个转盘均被分成四个相同的扇形，转动转盘时指针落在每一个扇形内的机会均等，同时转动两个转盘，则两个指针同时落在标有奇数扇形内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
11．（3分）若关于x的不等式
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
12．（3分）如图，矩形ABCD的两对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，设AB=xcm，矩形ABCD的面积为Scm，则变量s与x间的函数关系式为（ ）
2
A．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 13．（3分）分解因式：2x﹣8xy+8xy= ．
14．（3分）将y=2x﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）+n的形式，则m•n= ．
15．（3分）如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合，若BC=8，CD=6，则CF= ．
2
2
3
2
2
B． C． D．
16．（3分）如图，一次函数y=ax（a为常数）与反比例函数
（k为常数）的图象相交
于A、B两点，若A点的坐标为（﹣2，3），则B点的坐标为 ．
17．（3分）1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有 个．
18．（3分）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，点D、E、F是⊙O上三个点，EF∥AB，若EF=2
，则∠EDC的度数为 度．
19．（3分）如图，△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，若△ABC上一点M的坐标为（m，n），那么M点的对应点M’的坐标为 ．
三、解答题（共7小题，满分63分） 20．（11分）（1）先化简，再求值：（2）解方程：（3x+2）（x+3）=x+14．
21．（8分）某中学为了了解本校初三学生体育成绩，从本校初三1200名学生中随机抽取了部分学生进行测试，将测试成绩（满分100分，成绩均取整数）进行统计，绘制成如下图表（部分）： 组别 1 2 3 4 5 合计
成绩 90.5～100.5 80.5～90.5 70.5～80.5 60.5～70.5 50.5～60.5
频数 频率 8 m 40 25 3
0.08 0.24 n 0.25 0.03
，其中
请根据上面的图表，解答下列各题： （1）m= ，n= ； （2）补全频数分布直方图；
（3）指出这组数据的“中位数”落在哪一组（不要求说明理由）；
（4）若成绩80分以上的学生为优秀，请估计该校初三学生体育成绩优秀的人数．
22．（8分）某电视厂要印刷产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费，乙厂提出：每份材料收2元印刷费，不收制版费． （1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的函数解析式；
（2）电视机厂拟拿出3000元用于印刷宣传材料，找哪家印刷厂印刷的宣传材料能多一些？ （3）印刷数量在什么范围时，在甲厂印刷合算？
23．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．
（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B； （2）求证：AB=AE•AC．
2
24．（8分）某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元． （1）求该种纪念品4月份的销售价格；
（2）若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？ 25．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点． （1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．
26．（10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值．
2010年山东省泰安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）|﹣5|的倒数是（ ） A．
B．﹣ C．5
D．﹣5
【分析】首先化简绝对值，然后根据倒数的定义求解． 【解答】解：∵|﹣5|=5，5的倒数是， ∴|﹣5|的倒数是． 故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值及倒数的定义．
绝对值的定义：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数； 倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数．注意0没有倒数．
2．（3分）计算（a）•a的结果是（ ） A．a
8
3
2
3
B．a
9
C．a D．a
1011
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则计算即可． 【解答】解：原式=a
3×2
•a=a=a；故选B．
36+39
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法与幂的乘方，需注意它们之间的区别： 同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘．
3．（3分）下列图形其中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图
形完全重合，那么这个图形就叫中心对称图形．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 符合条件的是第一个和第三个图形，故选B． 【点评】运用了中心对称图形与轴对称图形的定义．
4．（3分）函数y=2x+1与函数图象上的是（ ）
A．（﹣2，﹣5） B．（，4） C．（﹣1，10） D．（5，2）
【分析】把（2，m）代入一次函数，求得m的值，再看所给选项的横纵坐标的积是否等于2m即可．
【解答】解：（2，m）在y=2x+1上， ∴m=5， ∴k=2m=10，
所给选项中，横纵坐标的积不等于10的只有C． 故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于反比例的比例系数．
5．（3分）如图，l1∥l2，l3⊥l4，∠1=42°，那么∠2的度数为（ ）
的图象相交于点（2，m），则下列各点不在函数
的
A．48° B．42° C．38° D．21°
【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠2．
【解答】解：如图，∵l1∥l2，∠1=42°， ∴∠3=∠1=42°， ∵l3⊥l4，
∴∠2=90°﹣∠3=48°． 故选：A．
【点评】本题利用平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质．
6．（3分）如图，数轴上A、B两点对应的实数分别为a，b，则下列结论不正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab＜0
C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
【分析】根据数轴，列出a、b的取值范围，然后再进行不等式的计算． 【解答】解：根据题意，得 ﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
A、0＜a+b＜2；不等式两边同时相加，不等式符号不变，故A正确； B、﹣2＜ab＜﹣1，不等式两边同时乘以负数，不等式符号改变，故B正确； C、∵﹣2＜﹣b＜﹣1，不等式两边同乘以负数，不等式符号改变， ∴﹣3＜a﹣b＜﹣1＜0，故C正确； D、由上式得0＜|a|＜1，1＜|b|＜2， ∴|a|＜|b|，即a|﹣|b|＜0，故D错误． 故选：D．
【点评】本题主要考查的是实数的绝对值的性质，解题关键是利用绝对值的几何意义和不等式的性质．
7．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积是（ ）
A．36π B．60π C．96π D．120π
【分析】易得此几何体为圆锥，圆锥的全面积=底面积+侧面积=π×底面半径+π×底面半径×母线长．
【解答】解：此几何体为圆锥，底面直径为12，高为8，那么半径为6，母线长为10， ∴圆锥的全面积=π×6+π×6×10=96π， 故选：C．
【点评】用到的知识点为：圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形；圆锥的全面积的计算公式．
8．（3分）下列函数：①y=﹣3x；②y=2x﹣1；③值随x值的增大而增大的函数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】分清每个函数的类别，根据函数的增减性，逐一判断． 【解答】解：①y=﹣3x，∵﹣3＜0，y随x的增大而减小； ②y=2x﹣1，∵2＞0，y随x的增大而增大； ③
2
2
2
；④y=﹣x+2x+3．其中y的
2
∵﹣1＜0，图象在第二、四象限，当x＜0时，y随x的增大而增大；
④y=﹣x+2x+3当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小． ②③符合题意，故选C．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性．
9．（3分）如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A．AD=CF
B．BF=CF
C．AF=CD
D．DE=EF
【分析】可证△AEF≌△DEC（AAS或ASA），由∠FCD=∠D得△DEC、△AEF都是等腰三角形． 故易判断C、D都成立； ∠B=∠D=∠F，则CF=BC=AD． 没有条件证明BF=CF．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠B=∠D，AB∥CD． ∵BF∥CD，∴∠F=∠FCD，∠FAE=∠D． ∵AE=ED， ∴△AEF≌△DEC． ∴AF=CD，EF=CE． ∵∠FCD=∠D，∴CE=DE． ∴DE=EF． 故C、D都成立；
∵∠B=∠D=∠F，则CF=BC=AD．故A成立． 没有条件证明BF=CF． 故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，即平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．
10．（3分）如图所示的两个转盘，每个转盘均被分成四个相同的扇形，转动转盘时指针落在每一个扇形内的机会均等，同时转动两个转盘，则两个指针同时落在标有奇数扇形内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】列举出所有情况，看两个指针同时落在标有奇数扇形内的情况占总情况的多少即可． 【解答】解：列表得：
共有16种情况，两个指针同时落在标有奇数扇形内的情况有4种情况，所以概率是，故选C．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是不放回实验．
11．（3分）若关于x的不等式
的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围． 【解答】解：由（1）得，x＜m， 由（2）得，x≥3，
故原不等式组的解集为：3≤x＜m， ∵不等式的正整数解有4个， ∴其整数解应为：3、4、5、6， ∴m的取值范围是6＜m≤7． 故选：D．
【点评】本题是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．
12．（3分）如图，矩形ABCD的两对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，设AB=xcm，矩形ABCD的面积为Scm，则变量s与x间的函数关系式为（ ）
2
A．
B．
C．
D．
【分析】由∠AOB=60°根据矩形的对角线相等且互相平分可得△ABO是等边三角形，所以∠ABD等于60°，再求出AD的长，进而可求面积． 【解答】解：在矩形ABCD中，AO=BO， ∵∠AOB=60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠ABO=60°， 在Rt△ABD中， ∴AD=ABtan60°=
x，
x•x=
xcm．
2
2
∴矩形ABCD的面积S=AD•AB=故选：A．
【点评】本题主要利用矩形的性质和等边三角形的判定和性质求解．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 13．（3分）分解因式：2x﹣8xy+8xy= 2x（x﹣2y） ． 【分析】先提取公因式2x，然后再运用完全平方式分解因式即可． 【解答】解：2x﹣8xy+8xy， =2x（x﹣4xy+4y）， =2x（x﹣2y）
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，熟记完全平方公式结构是解题的关键，要注意分解因式要彻底．
2
2
23
2
23
2
2
2
14．（3分）将y=2x﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）+n的形式，则m•n= ﹣90 ． 【分析】首先利用配方法把一般式转化为顶点式，求出m和n的值，进而得出m•n的值． 【解答】解：∵y=2x﹣12x﹣12=2（x﹣6x+9）﹣18﹣12=2（x﹣3）﹣30， ∴m=3，n=﹣30， ∴m•n=﹣90．
【点评】考查二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y=ax+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y=a（x﹣h）+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
15．（3分）如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合，若BC=8，CD=6，则CF=
．
2
22
2
2
22
【分析】根据折叠的性质知：DF=D′F，可在Rt△CFD′中，用CF的长表示出D′F，进而由勾股定理求得CF的值．
【解答】解：∵D′是BC的中点， ∴D′C=BC=4；
由折叠的性质知：DF=D′F，设CF=x，则D′F=DF=6﹣x； 在Rt△CFD′中，根据勾股定理得：D′F=CF+CD′，即： （6﹣x）=x+4，解得x=； 故CF=．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应的边相等．
16．（3分）如图，一次函数y=ax（a为常数）与反比例函数
（k为常数）的图象相交
2
2
2
2
2
2
于A、B两点，若A点的坐标为（﹣2，3），则B点的坐标为 （2，﹣3） ．
【分析】找到点A的关于原点对称的点的坐标即可．
【解答】解：若A点的坐标为（﹣2，3），则B点的坐标为（2，﹣3）．
【点评】用到的知识点为：正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称；关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数．
17．（3分）1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有 186 个．
【分析】分别找出1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，有理数的个数，然后即可得出无理数的个数．
【解答】解：∵1=1，2=4，3=9，…，10=100，
∴1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个， ∴无理数有90个；
∵1=1，2=8，3=27，4=64＜100，5=125＞100，
∴1，2，3…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个， ∴无理数有96个；
∴1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90+96=186个． 故答案为：186．
【点评】本题结合算术平方根与立方根的定义考查了无理数的定义，有一定的难度．
18．（3分）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，点D、E、F是⊙O上三个点，EF∥AB，若EF=2
，则∠EDC的度数为 30 度．
3
3
3
3
3
2
2
2
2
【分析】连接OC、OE，由切线的性质知OC⊥AB，而EF∥AB，则OC⊥EF；设OC交EF于M，在Rt△OEM中，根据垂径定理可得到EM的长，OE即⊙O的半径已知，即可求出∠EOM的正弦值，进而可求得∠EOM的度数，由圆周角定理即可得到∠EDC的度数． 【解答】解：连接OE、OC，设OC与EF的交点为M； ∵AB切⊙O于C， ∴OC⊥AB； ∵EF∥AB， ∴OC⊥EF，则EM=MF=Rt△OEM中，EM=则sin∠EOM=
=
；
，OE=2；
，∴∠EOM=60°；
∴∠EDC=∠EOM=30°．
【点评】此题主要考查的是切线的性质、垂径定理、解直角三角形以及圆周角定理的综合应用能力．
19．（3分）如图，△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，若△ABC上一点M的坐标为（m，n），那么M点的对应点M’的坐标为 （m+4，n+2） ．
【分析】从图中三角形三个顶点的坐标，求出平移的方法，从而得到M′的坐标． 【解答】解：从图上看，△ABC经过先向右平移四个单位，再向上平移二个单位得到△A′B′C′，所以M点也是经过这样的平移得到△A′B′C′，M点向右平移四个单位，再向上平移二个单位得到点M′，所以对应点M′的坐标为（m+4，n+2）．
【点评】本题考查图形平移．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
三、解答题（共7小题，满分63分） 20．（11分）（1）先化简，再求值：（2）解方程：（3x+2）（x+3）=x+14．
【分析】（1）本题的关键是化简，然后把给定的值代入求值． （2）首先将所求方程整理为一般式，然后再用公式法进行求解即可． 【解答】解：（1）原式====当
；
时，原式=
2
，其中
；
（2）原方程化为3x+10x﹣8=0 ∴即x=∴
； ，x2=﹣4．
【点评】本题除考查了分式的混合运算外，还考查了一元二次方程的解法，正确记忆理解公式是解题关键．
21．（8分）某中学为了了解本校初三学生体育成绩，从本校初三1200名学生中随机抽取了部分学生进行测试，将测试成绩（满分100分，成绩均取整数）进行统计，绘制成如下图表（部分）： 组别 1 2 3 4 5 合计
成绩 90.5～100.5 80.5～90.5 70.5～80.5 60.5～70.5 50.5～60.5
频数 频率 8 m 40 25 3
0.08 0.24 n 0.25 0.03
请根据上面的图表，解答下列各题： （1）m= 24 ，n= 0.4 ； （2）补全频数分布直方图；
（3）指出这组数据的“中位数”落在哪一组（不要求说明理由）；
（4）若成绩80分以上的学生为优秀，请估计该校初三学生体育成绩优秀的人数．
【分析】（1）首先用8÷0.08即可得到抽取的部分学生的总人数，然后用40除以总人数即可n，用总人数乘以0.24即可求出m；
（2）根据表格的信息就可以补全频数分布直方图；
（3）由于知道抽取的部分学生的总人数，根据中位数的定义和表格信息就可以得到这组数据的“中位数”落在哪一组；
（4）首先根据表格得到成绩80分以上的学生人数，然后除以总人数即得到抽取的部分学生
的优秀率，再乘以1200即可求出该校初三学生体育成绩优秀的人数． 【解答】解：（1）m=8÷0.08×0.24=24， n=40÷（8÷0.08）=0.4； 故填24；0.4．
（2）如图所示；
（3）∵抽取的部分学生的总人数为8÷0.08=100人， ∴依题意得这组数据的“中位数”落在第3组；
（4）估计该校初三学生体育成绩优秀的人数为 1200×（0.08+0.24）=384人．
【点评】本题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．
22．（8分）某电视厂要印刷产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费，乙厂提出：每份材料收2元印刷费，不收制版费． （1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的函数解析式；
（2）电视机厂拟拿出3000元用于印刷宣传材料，找哪家印刷厂印刷的宣传材料能多一些？ （3）印刷数量在什么范围时，在甲厂印刷合算？ 【分析】（1）直接根据题意列出函数解析式即可；
（2）把y=3000分别代入（1）中所求的函数关系式中求出x的值，比较大小即可； （3）根据“甲厂的费用＜乙厂的费用”列出不等式x+1000＜2x求解即可．
【解答】解：（1）甲厂的收费y（元）与印刷数量x（份）之间的函数解析式为：y=x+1000； 乙厂的收费y（元）与印刷数量x（份）之间的函数解析式为：y=2x； （2）根据题意可知，若找甲厂印刷，设可以印制x份，则：3000=x+1000， 解得：x=2000；
若找乙厂印刷，设可以印制x份，则：3000=2x， 解得：x=1500．
所以，甲厂印制的宣传材料多一些； （3）设印刷x份时，在甲厂印刷合算． 根据题意可得：x+1000＜2x， 解得：x＞1000．
∴当印制数量大于1000份时，在甲厂印刷合算．
【点评】本题考查根据实际问题列一次函数的解析式和一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出相等关系或不等式关系式即可求解．
23．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．
（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B； （2）求证：AB=AE•AC．
2
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B； （2）根据相似三角形的判定，由AA可证△ADE∽△ACD，得到AB=AD，即证AB=AE•AC．
【解答】证明：（1）在△ADE和△ACD中， ∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE， ∴∠AED=180°﹣∠DAE﹣∠ADE， ∠ADC=180°﹣∠DAE﹣∠C，
2
，即AD=AE•AC．又
2
∴∠AED=∠ADC．（2分） ∵∠AED+∠DEC=180°， ∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠DEC=∠ADB， 又∵AB=AD， ∴∠ADB=∠B， ∴∠DEC=∠B．（4分）
（2）在△ADE和△ACD中，
由（1）知∠ADE=∠C，∠AED=∠ADC， ∴△ADE∽△ACD，（5分） ∴
2
，
即AD=AE•AC．（7分） 又AB=AD，
∴AB=AE•AC．（8分）
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定等知识点，难度适中．
24．（8分）某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元． （1）求该种纪念品4月份的销售价格；
（2）若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？ 【分析】（1）等量关系为：4月份营业数量=5月份营业数量﹣20；
（2）算出4月份的数量，进而求得成本及每件的盈利，进而算出5月份的售价及每件的盈利，乘以5月份的数量即为5月份的获利．
【解答】解：（1）设该种纪念品4月份的销售价格为x元． 根据题意得
，
2
20x=1000 解之得x=50，
经检验x=50是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴该种纪念品4月份的销售价格是50元；
（2）由（1）知4月份销售件数为∴四月份每件盈利
（元），
（件），
5月份销售件数为40+20=60件，且每件售价为50×0.9=45（元），每件比4月份少盈利5元，为20﹣5=15（元），
所以5月份销售这种纪念品获利60×15=900（元）．
【点评】找到相应的关系式是解决问题的关键．注意求获利应求得相应的数量与单件获利．
25．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点． （1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．
【分析】（1）连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形； （2）若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AP，得到P点是AB的中点． 【解答】（1）证明：连接AD
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点 ∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B， 在△BPD和△AQD中，
，
∴△BPD≌△AQD（SAS）， ∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP， ∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADP+∠ADQ=90°，即∠PDQ=90°， ∴△PDQ为等腰直角三角形；
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下： ∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点， ∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠B=∠C=45°， ∴△ABD是等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°， 又∵∠A=90°，∠PDQ=90°， ∴四边形APDQ为矩形， 又∵DP=AP=AB，
∴矩形APDQ为正方形（邻边相等的矩形为正方形）．
【点评】本题考查正方形的判定：邻边相等的矩形为正方形．也考查了等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
26．（10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值．
【分析】（1）连接AD、OD，根据AC是圆的直径，即可得到AD⊥BC，再根据三角形中位线定理即可得到OD∥AB，这得到OD⊥DE，从而求证，DE是圆的切线．
（2）根据平行线分线段成比例定理，即可求得FC的长，即可求得AF，根据余弦的定义即可求解．
【解答】（1）证明：连接AD、OD ∵AC是直径 ∴AD⊥BC ∵AB=AC ∴D是BC的中点 又∵O是AC的中点 ∴OD∥AB ∵DE⊥AB ∴OD⊥DE ∴DE是⊙O的切线
（2）解：由（1）知OD∥AE， ∴∠FOD=∠FAE，∠FDO=∠FEA， ∴△FOD∽△FAE， ∴∴∴解得FC=2 ∴AF=6
∴Rt△AEF中，cos∠FAE====．
【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．并且本题还考查了三角函数的定义．
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