1-2一些常用的抽样分布

2022-10-12 来源：华拓网

§2 一些常用的抽样分布

2分布、t首先介绍三种来自正态母体的重要的抽样分布：

布.

分布、F分

2.1 分布

（1）

2 函数、 函数及其性质：

1x0xedx为

()0,定义：对称

Function)；

 函数(Gamma

对

a0,b0称

(a,b)10xa1(1x)b1dx为

 函数(Beta

Function).

性质：

1(1)1,();2①

②

(1)(),(n1)n!,1

对

(0,1),查表可求

();

n1()21;limn2nn()2③

(a)(b)(a,b).(ab)

④

2X,X2,,Xn是来自母体X~N(0,1)的一个子样，（2）分布的定义：1则称

22X12X22Xn服从自由度(degrees of freedom)为n的

2分布，记为：

2~2(n)

（3）概率密度函数

fn(x)及其图形：

利用数学归纳法、卷积公式可证，

nx1122xe, x0 时n2nfn(x)2()2 0， x0 时  >>hold off

>>x=[0:0.5:40];

>>f1=chi2pdf(x,1);f2=chi2pdf(x,4);f3=chi2pdf(x,10);f4=chi2pdf(x,20);

>>plot(x,f1,'r',x,f2,'g',x,f3,'b',x,f4,'m')

（4）

2分布的性质：

22E()nD()2n~(n)①期望、方差：，则, ；

222222XXX12n，其中X1,X2,,Xn证明：

是来自母体

X~N(0,1)的一个子样，故

2n2in

E()E(X)E(X)nE(X)n[D(X)E(X)]n(01)n2i22i1i1

D()D(X)D(X)nD(X)n[E(X)E(X)]n(31)2n22i2i2422i1i1nn

②可加性，即：若

1~(n1)，2~(n2)，且122222与

22相互独立，

222~(n1n2). 2则有1注：用数学归纳法、卷积公式、

 函数与 函数的关系可证，略.

n2n的分

2222~(n)的标准化变量

③极限性质：设，则对xR有

布函数

Fn(x)满足：nlimFn(x)(x)n近似2.

从而当n充分大时，

2n~N(0,1)，

2近似~N(n,2n).

22~(n)，故可设：

证明：

22X12X22Xn

Xi~N(0,1),i1,2,nX,X,,X12n其中相互独立，且，从而有

222X1,X2,,Xn相互独立且同分布，由中心极限定理及

2分布的性质①知：

22n的标准化变量

2n分布函数

Fn(x)满足：

limFn(x)(x)n 证毕.

n近似即当n充分大时，

22n~N(0,1),从而2近似~N(n,2n).

2（5）分布的上侧分位数：

①随机变量的上侧分位数

定义：设X的分布密度为

xf(x), 则对（0，1），存在唯一实数,使得

P(Xx)xf(x)dxx，称实数为X的上侧分位数．

N(0, 1)②的上侧分位数

uU~N(0, 1)对（0， 1）定义：设, 则，存在唯一实数

，使

P(Uu)u(x)dx

称实数u为U的上分位数．

求法：

P(Uu)1P(Uu)1(u)，故(u)1，反查标准正态分布函数表，可得u值.

③2分布的上侧分位数

22定义：设~(n)，则对于（0，1）2，存在唯一实数(n),使得 P(22(n)))dx2(n)fn(x

2称实数(n)为2的上分位数．

查表：附表3——

2分布的上侧分位数表（P261）

n452性质：当时, (n)nu2n

：

证明：

2~2(n)，由上侧分位数定义知

P(22(n))

22P(n(n)n2n2n) 对于

U~N(0,1), 有

P(Uu) 2n近似再由2分布的极限性质知：

2n~N(0,1), 2(n)nu结合（1）、（2）两式有：

2n，即

2 (n)nu2n 例1.2.1 求

20.05(120)

这里n45 (1)(2)证毕.



解：

n12045, 0.05, (u0.05)10.050.95，故

，查表知：

u0.051.6452(n)nu2n1201.6452120145.5

（另有近似公式：

112(n)(u2n1)(1.64521201)2146.322）

2例1.2.2 设

10X1,X2,,X10是来自母体

X~N(0,0.32)的一个子样，求

P(Xi21.44)i1.

2X~N(0,0.3)X,X,,Xi1210解：相互独立，且，故

Xi~N(0,1)0.3Xi22()~（10）i10.3

10，且当

i1,2,，10时相互独立，

10X1.44Xi22i2P(Xi1.44)P(())P(()16)20.3i1i10.3i10.3

1010 9

则

(10)16,查表知 0.10.

2.2

2t分布

（1）定义：设

X~N(0,1)，Y~(n)2，且

X与

Y相互独立，令

TXY/nT~t(n)tnT，则称服从自由度为的分布，记为：

fn(t)及其图形：

（2）概率密度函数

n1()n12t2fn(t)(1)2, tnnn()2

>>hold off

>>x=[-5:0.1:5];

>>f1=tpdf(x,1);f2=tpdf(x,2);f3=tpdf(x,5);f4=tpdf(x,10); f5=normpdf(x,0,1);

>>plot(x,f1,'k',x,f2,'g', x,f3,'b', x,f4,'m', x,f5,'r')

（3）性质：

t分布的极限分布是N(0,1).

n1n1()2t2limfn(t)lim(1)2nnnnn()2证明：

n1()n121t2limlim(1)2nnn(n)n21tt2lim[(1)]n2n12nt22t[(1)]n

2121e2t22(t) 证毕.

TT~t(n)n注：很大时，若，则

（4）

近似~N(0,1).

t分布的上侧分位数

t(n)（0，1）T~t(n)，则对存在唯一实数,使

定义：设P(Tt(n))称实数

t(n)fn(x)dx

t(n)为T的上

分位数．

查表：附表2——t分布的上侧分位数表（P259）

性质：①

t1(n)t(n)t(n)un45 ②当时,

2.3

F分布

X/n1F22Y/n2，X~(n1)，Y~(n2)，且X与Y相互独立，

（1）定义：设

n(n,n)n12FF则称服从自由度为的分布，1为第一自由度、2为第二自由度. 记为：

F~F(n1,n2)

（2）概率密度函数

f(z)及其图形：

n1n2n()n1n1n211n122n122()z(1z), z0 时nn2n2f(z)n21()()22 0， z0 时 >>hold off

>>x=[0:0.05:6];

>>f1=fpdf(x,10,4);f2=fpdf(x,10,10);f3=fpdf(x,10,20);f4=fpdf(x,10, 50);

>>plot(x,f1,'r', x,f2,'g', x,f3,'b', x,f4,'m')

（3）F分布的上侧分位数

F(n1,n2)F~F(n,n)对（0，1）,12定义：设，则有唯一实数,使

P(FF(n1,n2))称实数

F(n1,n2)f(z)dz

F(n1,n2)为F的上

分位数．

查表：

 较小时, 查附表4——F分布的上侧分位数表（P266）

1~F(n2,n1)F~F(n1,n2), 则F性质：①;

②

T~t(n), 则 T~F(1,n);

21F(n1,n2)F1(n2,n1)③

X/n1F~F(n1,n2) 可设 FY/n2,

证明：①

1Y/n222X~(n1)，Y~(n2)，且X与Y相互独立，FX/n1，则

其中：

由F分布的定义知:

1~F(n2,n1)F.

XT~t(n)， 可设TY/n②

2X~N(0,1)，Y~(n)，且X与Y，其中

相互独立，故

22XX/12TY/nY/n

其中：X~N(0,1)， X~(1)，且X与Y独立，故

T2~F(1,n).

③设

222F~F(n1,n2), 由上侧分位数定义知

1111P{FF(n1,n2)}P{}1P{}FF(n1,n2)FF(n1,n2)

111P{}1~F(n2,n1)FF(n1,n2)，又F, 故

1F1(n2,n1)F(n1,n2) 证毕.

注：当

F(n,n)较接近1时，F(n,n)不能从附表4直接查到，故应查表求，

12121再用此公式计算

F(n1,n2)F0.95(12,9).

例1.2.3 求

解：

11F0.95(12,9)0.375F0.05(9,12)2.80X1,X2,,X8

例1.2.4

82X~N(,)的一个子样，求随机区间

是来自母体

(Xi)28(Xi)2(,)42i1i1长度的期望与方差。

88(Xi)2(Xi)2(Xi)2L244i1i1i1解：

888(Xi)2(Xi)2(X)2E(L)E()E()E()444i1i1i1

82E(X)22E(XE(X))22D(X)22

8(Xi)2(Xi)2D(L)D()D()44i1i18(X)21D()D(X)28i142

X~N(,)

2X~N(0,1)

(X)2~2(1)

D(X)22

D(X)224

1D(L)D(X)242

2.4 抽样分布定理(sampling distribution theorem)

（1）单个正态母体情形

定理1 设母体X有：子样，

E(X), D(X)2, X1,X2,,Xn是X的一个

X是子样均值，则

E(X), D(X)2n；

①

X~N(0,1)X~N(,) 2X~N(,)时，n，/n②特别，当.

2定理2

X1,X2,,Xn*2n2X~N(,)的一个子样，则

是来自母体

(n1)S①

2~2(n1)；

②

X与

S*2n独立；

X~t(n1)*S/n③n.

（2）两个正态母体情形

定理3

X1,X2,,Xn1是来自母体

X~N(1,12)的一个子样，

Y1,Y2,,Yn22Y~N(,22)的一个子样，X,Y是来自母体

相互独立，则

(XY)(12)①

21n122~N(0,1)；

n2S②

S*2X*2Y/12/22~F(n11,n21)；

③当

12222时，

(XY)(12)~t(n1n22)11*SWn1n2*2Y，

S其中：

*2W(n11)S(n21)Sn1n22*2X.

（3）大子样情形（子样容量n50）

定理4 ①

X1,X2,,Xn是来自母体

X的一个子样，n50，E(X)，

X近似~N(0,1)则S/n；

②

X1,X2,,Xn1是来自母体

X的一个子样，

n150，

E(X)1，

Y1,Y2,,Yn2是来自母体

Y的一个子样，n250，E(Y)2，X,Y相互独

立, 则

(XY)(12)近似~N(0,1)2S12S2n1n2.

因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容

查看全文

全部频道

1-2一些常用的抽样分布