恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略

恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略

作者：周志成

来源：《理科考试研究·高中》2014年第10期

高中数学中的有关“恒成立”、“能成立”、“恰成立”等问题，虽然在教材中没有专门的讲解，但是这些内容一 直以来都是高中数学教学的重点和难点又因为这类问题的解法较多，同时在一些题目中更是没有明显出现“恒成立”、“能成立”、“恰成立”、“ 都成立”等字样，若明若暗，具有一定的隐藏性，极易被解题者忽视所以在历年高考（江苏近年来几乎年年都考）中都屡见不鲜

如何准确地、快速地解决这类问题？笔者认为分离变量法和函数法具有思路清、操作强、易掌握等特点，所以在解决这类问题时是很好的方法本文通过举例说明来探讨这类问题的一些常规处理方法 一、恒成立问题 （一） 分离参数法

解决恒成立问题的第一种常用解法是利用分离参数转化为最值的方法求解，其基本步骤：分离参数，构造函数，求最值

（）将参数与变量分离，即化为f（）≤g（x）（或f（）≥g（x））恒成立的形式； （） 求g（x）在x∈D上的最大（或最小）值；

（3） 解不等式f（）≥g（x）ax（或f（）≤g（x）in） ，得的取值范围 适用题型（） 参数与变量能分离；（） 函数的最值易求出 例（00天津理）设函数f（x）=x-，对任意x∈[3，+∞）， f（x）-4f（x）≤f（x-）+4f（）恒成立，则实数的取值范围是

解析由题可得x--4（x-）≤（x-）-+4（-）在x∈[3，+∞）上恒定成立，即-4≤-3x-x+在x∈[3，+∞）上恒成立

当x=3时函数y=-3x-x+取得最小值-53，所以-4≤-53， 即（3+）（4-3）≥0，解得≤-3或≥3

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（二）函数法

解决恒成立问题的第二种常用解法是函数法即通过构造函数，再利用函数的特性分析解决问题（利用化归思想将其转换为求函数的最值问题）

（）若不等式f（x）>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x）in>A （）若不等式f（x）

例（同上例）设函数f（x）=x-，对任意x∈[3，+∞），f（x-4f（x）≤f（x-）+4f（）恒成立，则实数的取值范围是

解析由题可得x--4（x-）≤（x-）-+4（-）在x∈[3，+∞）上恒定成立，即-3x-x++4-≤0在x∈[3，+∞）上恒成立

令t=x，则t∈（0，3]， ∴-3t-t++4-≥0在t∈（0，3]上恒成立 令g（t）=-3t-t++4-， ∴g（0）≥0且g（3）≥0， ∴得≤-3或≥3 （三）主参换位法

例3已知函数f（x）=a3x3-3x+（a+）x+，其中a为实数若不等式f ′（x）>x-x-a+对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围

解析由题设知ax-3x+（a+）>x-x-a+对a∈（0，+∞）都成立， 即a（x+）-x-x>0对a∈（0，+∞）都成立

设g（a）=（x+a）a-x-x（a∈R），则g（a）是一个以a为自变量的一次函数 ∵x+>0恒成立，则对x∈R，g（a）为R上的单调递增函数

所以对a∈（0，+∞），g（a）>0恒成立的充分必要条件是g（0）≥0，-x-x≥0，∴-≤x≤0，于是x的取值范围是{x|-≤x≤0} 二、“能成立”问题

例4（0年江苏4题）设集合A={（x，y）|≤（x-）+y≤，x，y∈R}，B={（x，y）|≤x+y≤+，x，y∈R} ， 若A∩B≠，则实数的取值范围是

解析当≤0时，集合A是以（，0）为圆心，以||为半径的圆，当>0时，

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集合A是以（，0）为圆心，以和||为半径的圆环集合B是在两条平行线之间因为A∩B≠，