第二十二章二次函数单元测试
一、单选题（共10题；共30分）
1西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管的最大高度为 在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（）
3米，此时距喷水管的水平距离为 米,
A、y = - (x — )2+ 3 B
、y = — 3(x + )2
C、y = — 12(x —4 )2+ 3
D
、y = — 12(x +4 )2 + 3
2、 抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移 2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ A、 ， •
「 - !■ B、： 一：
C、【T十： 】 经过平移得到抛物线
r
D、；’一 J 厂；/
）
3、 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 • -
/
F
/
，其对称轴与两段抛物
线所围成的阴影部分的面积为
A、2 B 、4 C 、8 D 、16
4、抛物线，--二-4「向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为
A、、一 -
\\ B 、，一 - ； - 1 C , 一 - ； - 一 ■ ；
Ck / - - ; - - ' -
5、下列关系式中，属于二次函数的是（ x是自变量）（
1
D、y=ax +bx+c
6、下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ A、y=3x- 1
B y=ax +bx+c
）
2 2 ~ *
2
C、s=2t — 2t+1 ）
D
、
7、抛物线y= - 2x+4的顶点坐标为（
A、（ 4，0） B 、（ 0，4） C
(4, 2) D (4,- 2)
2 8、已知矩形的周长为 36m,矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为 y=x +
2
xm,圆柱的侧
面积为ym ,则y与x的函数关系式为（ ）
2 2 2 2
A、 y= - 2 n x +18 n x B 、 y=2 n x - 18 n x C 、 y= - 2 n x +36 n x D 、 y=2 n x - 36 n x 9、已知将二次函数 y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移 3个单位，所得图象的解析式为 -4x - 5，则b, c的值为（）
y=x2
A、b=0, c=6 B 、b=0, c= — 5 C 、b=0, c= — 6 D 、b=0. c=5
y= - x 2+bx+c的一部分（如图），其中出球点
比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线
A到0点的距离是 4m,那么这条抛物线的解析式是（
地面o点的距
、y=- x2+
、y= 7- x2- x - 1
4 4
10 、（ 2011?梧州）2011年5月22 日- 29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛.在
A、y=— 、填空题（共8题；共30 分）
2
11、在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线 y=x和直线y=- x+3，利用两图象
2
交点的横坐标来求一元二次方程
x2+x - 3=0的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线 y=x?- 3和直线
y= - x，用它们交点的横坐标来求该方程的解•所以求方程 _______ 和 _________的图象交点的横坐标来求得.
[.护 yr；的近似解也可以利用熟悉的函数
3
12、如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽
AB=1.6m,涵洞顶点0到水面的距离 CO为2.4m，在
图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是 _____________
13、如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂 画总面积为ycm2
，金色纸边的宽为 xcm，则y与x的关系式是 ___________ .
14、 函数y=2 (x - 1) 2图象的顶点坐标为 __________ .
15、 二次函数y= - 2 (x- 1) 2+3的图象的顶点坐标是 __________ ，对称轴为 ________
17、 一小球被抛出后，距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足下面的函数关系式；h=- 5t2+10t+1 , 则小球距离地面的最大高度是 __________ .
18、 _____________________________________________ 二次函数y=x2+6x+5图像的顶点坐标为
三、解答题(共5题；共30分)
2 2
19、 在同一坐标系内，画出函数 y=2x和y=2 (X-1)+1的图象，并说出它们的相同点和不同点.
4
20、已知抛物线 y=x2-4x+3 .
(1) 该抛物线的对称轴是，顶点坐标； (2)
将该抛物线向上平移
2个单位长度，再向左平移 3个单位长度得到新的二次函
数图像，请写出相应
L I』 』| 」- J JLI 1 i JI ■I JI 仆r1-I JI —I J! |» M I I 的解析式，并用列表，描点，连线的方法画出新二次函数的图像；
(3)新图像上两点 A (xi , y i), B (X2 , y 2)，它们的横坐标满足 xy -2，且-1 v x?v y2 , 严・0三者的大小关系.
」！ JL一-—. ■ 」「■ ！一■ « 車_ -卜~ +- 丄■；_ -^4-r W —+- ;■』十；丄」；:；- T 21、已知抛物线l i的最高点为P ( 3, 4)，且经过点 A (0, 1),求l i的解析式.
5
0,试比较 y ,
22、甲、乙两个仓库向 A、B两地运送水泥，已知甲库可调出
100吨水泥，乙库可调出 80吨水泥，A地需
/吨•千米”表示每吨
70吨，B地需110吨水泥，两库到 A, B两地的路程和费用如下表：（表中运费“元 水泥运送1千米所需要人民币）•
设甲库运往A地水泥x吨，总运费 W元.（1）写出w关于x的函数关系式，并求 x为何值时总运费最小？ （2）如果要求运送的水泥数是 10吨的整数倍，且运费不能超过 运送方案?
2
38000元，则总共有几种
2
y= -( x - 2) +7 的
+4的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数
四、综合题（共1题；共10分）
y1
24、成都地铁规划到 2020年将通车13条线路，近几年正是成都地铁加紧建设和密集开通的几年，市场对
建材的需求量有所提高，根据市场调查分析可预测：投资水泥生产销售后所获得的利润 （万元）与投资
资金量x （万元）满足正比例关系 y1=20x;投资钢材生产销售的后所获得的利润 y2 （万元）
AB// x
100万元用
于生产销售水泥和钢材两种材料，若设投资钢材部分的资金量为
与投资资金量
t （万元），生长销售完这两种材料后获
得的总利润为W（万元）. ①求W与t之间的函数关系式;
6
②若要求投资钢材部分的资金量不得少于 总利润最大？最大总利润是多少？
45万元，那么当投资钢材部分的资金量为多少万元时，获得的
答案解析
一、单选题 1、 【答案】C
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】根据二次函数的图象，喷水管喷水的最大高度为 此得到顶点坐标为（
3米，此时喷水水平距离为
米，由
，3），所以设抛物线的解析式为 y=a（x- ）2+3,而抛物线还经过（0, 0），由此即
3米，此时喷水水平距离
可确定抛物线的解析式•【解答】•••一支高度为 1米的喷水管喷水的最大高度为 为二米，
顶点坐标为（-,3）,
设抛物线的解析式为 y=a （x- ）2+3, 而抛物线还经过（0, 0）, 1 2
••• 0=a （ ） +3, ••• a=-12 ,
•抛物线的解析式为 y=-12 （X-^）2+3.
故选：C.【点评】此题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根 据题目隐含的条件得到待定系数所需要的点的坐标解决问题 2、 【答案】C
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【分析】原抛物线顶点坐标为（0, 0），平移后抛物线顶点坐标为（-1, -2）,根据顶点式可确定抛 物线解析式•【解答】由题意，得平移后抛物线顶点坐标为（ 的二次函数解析式为 y= （ X+1）2-2 .故选C.
【点评】此类试题属于按难度一般的试题，只需考生掌握好评议的基本规律即可：左加右减等基本性质 3、 【答案】B
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【分析】过点C作CM y轴于点A,根据抛物线的对称性可知：
OBD的面积等于CAO勺面积，从
-1, -2）,又平移不改变二次项系数，•得到
7
而阴影部分的面积等于矩形
ACBO勺面积。
【解答】•••-尹二心「頁汀门；：； 「•顶点坐标为C ( 2,— 2)。
•••对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为： 2X 2=4。故选B。 4、 【答案】A
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【分析】由二次函数的图象性质可知：的图象向右平移 即可得到新的二次函数解析式，所以平移后的二次函数解析式为： 5、 【答案】A
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、是二次函数，故 A正确； B、 不是二次函数的形式，故 B错误； C、 是分式，故C错误；
D、 a=0是一次函数，故 D错误； 故选：A.
【分析】根据函数y=ax2+bx+c (a工0是二次函数，可得答案. 6、 【答案】C
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=3x - 1是一次函数，故 A错误；
2
B、 y=ax +bx+c ( a工0是二次函数，故 B错误； C、 s=2t2 - 2t+1是二次函数，故 C正确； D、 y=x2 2
+1
不是二次函数，故 D错误； 故选：c.
8
个单位长度将 的值加上- - ::-'卩.故选A.
「【分析】根据二次函数的定义，可得答案. 7、 【答案】B
【考点】二次函数的性质
2
【解析】【解答】解：抛物线 y=- 2x+4的顶点坐标为（0, 4）. 故选B.
【分析】形如y=ax2+k的顶点坐标为（0, k）,据此可以直接求顶点坐标. 8、 【答案】C
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意，矩形的一条边长为 则圆柱体的侧面积 y=2 n x （18 - x） =- 2 n x2+36 n x, 故选：C.
【分析】先根据矩形周长求出矩形另一边长，根据圆柱体侧面积 9、 【答案】C
【考点】二次函数图象与几何变换
2 2 2
xcm,则另一边长为：（36 - 2x）+ 2=18- x （cm）,
=底面周长X高，列出函数关系式即可.
【解析】【解答】解：T y=x - 4x - 5=x - 4x+4 - 9= （ x - 2） - 9，二顶点坐标为（2, - 9）, •••向左平移2个单位，再向上平移 3个单位，得（0,- 6）, 则原抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（0，- 6）, •••平移不改变a的值， •• a=1,
•••原抛物线 y=ax2+bx+c=x2 - 6, • b=0, c= - 6. 故选C.
【分析】首先抛物线平移时不改变 a的值，其中点的坐标平移规律是上加下减，左减右加，利用这个规律 即可得到所求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式. 10、 【答案】A
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：•••出球点 B离地面O点的距离是1m,球落地点A到O点的距离是4m, •- B点的坐 标为：（0, 1） , A点坐标为（4, 0）,
9
将两点代入解析式得：
10
•••这条抛物线的解析式是:
y= - x2+ x+1.
故选：A.
解得:
【分析】根据已知得出 B点的坐标为: 即可得出答案. 、填空题
11、 【答案】y=幸;y=x2 - 3
【考点】图象法求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：•••利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线 y=x2和直线y= - x+3，利用两图象交
2
0，1)，A点坐标为(4, 0),代入解析式即可求出 b, c的值,
点的横坐标来求一元二次方程 x+x - 3=0的解，
y=x - 3和直线y= - x，用它们交点的横坐标来求该方程的解.
y=和y=x2- 3的图象交点的横坐标来求得.
也可在平面直角坐标系中画出抛物线
•求方程的近似解也可以利用熟悉的函数： 故答案为：y=g , y=x2 - 3.
【分析】根据在平面直角坐标系中画出抛物线 次方程x2+x- 3=0的解，进而得出方程
y=x2和直线y= - x+3,利用两图象交点的横坐标来求一元二
的近似解也可以利用熟悉的函数的交点得出.
12、 【答案】 ■丁沖 【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：设为 y=kx2 ,
由CO和AB的长，那么 A的坐标应该是(-0.8,- 2.4), 将其代入函数中得：- 解得k= - 丁 .
那么函数的解析式就是：y=-
15 2 x2 .
y=kx2 ,有CO和AB的长，那么A的坐标应该是(-0.8,
2.4=0.8 X 0.8 Xk
【分析】根据这个函数过原点，那么可设为 -2.4),禾U用待定系数法即可解决. 2
13、 【答案】y=4x+160x+1500
11
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：由题意可得： y= (50+2x)( 30+2x) =4X2+160X+1500. 故答案为：y=4x2+l60x+1500.
【分析】由于整个挂画为长方形，用 x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确 定函数关系式.
14、 【答案】 (1 , 0) 【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：•••抛物线 y=2 (x- 1) 2 , 抛物线y=2 (x - 1) 2的顶点坐标为：(1, 0), 故答案为：(1, 0).
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可. 15、 【答案】 (1 , 3); x=1 【考点】二次函数的性质 【解析】【解答】解：
2
•/ y= - 2 (x- 1) +3,
•抛物线顶点坐标为(1 , 3),对称轴为x=1, 故答案为：(1, 3); x=1 .
【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴. 16、 【答案】①③② 【考点】二次函数的图象 【解析】【解答】解：①y=3x2 , ② y= x2 ,
2 1
③ y=x中，二次项系数a分别为3、寸、1,
T 3>1> 〒,
•••抛物线②y= - x彳的开口最宽，抛物线①y=3x?的开口最窄. 故依次填：①③②.
【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄.
12
17、 【答案】6
【考点】二次函数的应用
【解析】 【解答】解：h=- 5t2+10t+1 = - 5 (t2- 2t) +1
13
2
=-5 (t - 2t+1 ) +1+5
2
=-5 (t - 1) +6,
-5v 0,
则抛物线的开口向下，有最大值， 当t=1时，h有最大值是6. 故答案为：6.
【分析】把二次函数的解析式化成顶点式，即可得出答案. 18、【答案】 (-3,- 4) 【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：I y=x2+6x+5= (x+3) 2-4,二抛物线顶点坐标为(- 故答案为：(-3,- 4).
3, - 4),
【分析】已知二次函数 y=x2 - 2x - 3为一般式，运用配方法转化为顶点式，可求顶点坐标. 三、解答题
不同点：函数y=2 ( x-1) 2+1的图象是由函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度， 再向右平移1个单位长度所得到的，位置不同.
【考点】二次函数的图象
【解析】【分析】先画图象，函数 y=2 (x-1) 2+1的图象是由函数y=2x2的图象向上平移 向右平移1个单位长度所得到的•开口方向和开口大小相同，位置不同. 20、【答案】 解：(1)v y=x2-4x+3= (x-2 ) 2-1 , •••该抛物线的对称轴是直线 x=2,顶点坐标(2, -1 ); (2)v向上平移2个单位长度，再向左平移 •平移后的抛物线的顶点坐标为(-1 , 1),
3个单位长度，
1个单位长度，再
14
•••平移后的抛物线的解析式为
2
y (x+1) 2+1,
即 y=x +2x+2,
-1 V X2< 0 时，1 vy2 v 2, • yi >y2> 0.
【考点】二次函数的性质
【解析】【分析】(1 )把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可；
(2) 根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出函数 解析式即可，再根据要求作出函数图象；
(3) 根据函数图象，利用数形结合的思想求解即可. 21、 【答案】 解：•••抛物线l i的最高点为P ( 3, 4), •设抛物线的解析式为 y=a (x - 3) 2+4, 把点(0, 1)代入得，
2
仁a ( 0- 3) +4, 解得，a=-
,
3
1
•抛物线的解析式为 y= - 【考点】二次函数的最值
【解析】【分析】物线的顶点式解析式
2
(x - 3) 2+4
y=a (x - h) 2+k，代入顶点坐标另一点求出 a的值即可.
22、 【答案】 (1 )解：设甲库运往 A地粮食x吨，则甲库运到 B地(100-x )吨，乙库运往 A地(70-x ) 吨，乙库运到 B地[80-
(70-x ) ]= (10+x)吨.
根据题意得： w=12X20X+10X 25 (100-x ) +12X 15 (70-x ) +8X 20 (10+x) =-30x+39200(0 w x < 70).
15
•总运费 w (元)关于x (吨)的函数关系式为 w=-30x+39200(0 w x< 70).
16
•••一次函数中 w=-30x+39200 中，k=-30 v 0 •••w的值随x的增大而减小 •••当x=70吨时，总运费 w最省， 最省的总运费为：-30 X 70+39200=37100 (元)
答：从甲库运往A地70吨粮食，往B地运送30吨粮食，从乙库运往B地80吨粮食时，总运费最省为37100 元.
(2)解： 因为运费不能超过 38000元， 所以 w=-30x+39200 < 38000, 所以x > 40.
又因为40W xW 70 ,
所以满足题意的x值为40,50,60,70 所以总共有4种方案.
【考点】二次函数的性质，二次函数的应用
【解析】【分析】(1)设甲库运往A地粮食x吨，则甲库剩下(100-x )要送到B地，所以A地还需要(70-x ) 吨要从乙库运过来，所以从乙库运送
[80- (70-x ) ]= (10+x)吨到B地，根据数量关系：总运费 =某库到
2)由题可得 w=-30x+39200 W 38000，解出x的取值范围，
,
某地的路程X运的吨数X每吨每千米的运费；(
23、【答案】
再取其中x为10的整数倍的数.
【考点】二次函数的图象
【解析】【分析】根据图象平移的规律，可得答案. 四、综合题
17
24、【答案】 (1)解：当Ovx< 30时，根据题意设y2=a (x - 30) 2+900, 将原点(0, 0)代入，得：900a+900=0，解得：a=- 1,
22
••• y2=-( x - 30) +900= - x+60x, 当 x > 30 时，y2=900
(2)解： ①设投资钢材部分的资金量为 t 万元,则投资生产水泥的资金量为( 100- t )万元,
22
当 0 v t w 30 时，W=y+y2=20 ( 100-t ) + (-t +60t) =- t +40t+2000 , 当 t > 30 时，W=20( 100 - t) +900= - 20t+2900 ; ②••• t > 45,
• W=- 20t+2900 , W随 t的增大而减小， •••当t=45时，Wk大值=2000万元
答：当投资钢材部分的资金量为 45万元时,获得的总利润最大,最大总利润是 2000万元． 【考点】 二次函数的应用
【解析】【分析】(1 )当0 vxw 30时，根据顶点A的坐标设其顶点式，将原点代入可得其解析式, > 30时，可得y2=900;( 2［①设投资钢材部分的资金量为
t万元，则投资生产水泥的资金量为(
万元，分0v t w 30、t > 30两种情况，根据 W=y+y2可得函数关系式； ②由t >45可知W- 20t+2900 ,根据一次函数性质可得最值情况.
18
x - t)100
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