阳原县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 已知是虚数单位，若复数ZA．-2 A．251

2ai在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）2iB．1

）

D．260C．2

D．3

2． 在下面程序框图中，输入N44，则输出的S的值是（

B．253

C．255

【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类.3． 抛物线x=﹣4y2的准线方程为（ A．y=1B．y=

C．x=1D．x=

）

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x2y24． 已知点P是双曲线C：221(a0,b0)左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且

abPF1PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率

是（ A.5

）

B.2

C.3

D.2【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力.5． 函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），若存在φ∈（数m的取值范围是（ A．（

）

]

C．（

）

D．（

]，

），使f（sinφ）=f（cosφ），则实

）B．（，

6． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为（

）

A．20，2 A．2bsinA）A．　

B．B．2bcosA

B．24，4

）

C．2bsinB

D．2bcosB

C．25，2 D．25，4

7． 在△ABC中，若A=2B，则a等于（

8． 点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（

C．D．

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3xy30y19． 若x,y满足约束条件3xy30，则当取最大值时，xy的值为（ ）

x3y0A．1 B． C．3 D．3

10．执行如图所示的程序，若输入的x3，则输出的所有x的值的和为（ A．243　　　　B．363　　　　C．729　　　　D．1092

）

【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．

11．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ A．36种B．38种C．108种

D．114种

）

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　12．在等差数列{an}中，a1=1，公差d0，Sn为{an}的前n项和.若向量m=(a1,a3)，n=(a13,-a3)，

2S+16n=0，则n且m×的最小值为（ ）

an+3A．4

B．3

C．23-2

D．

92【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．

二、填空题

13．若(mxy)展开式中xy的系数为160，则m__________．

【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．

14．已知M、N为抛物线y4x上两个不同的点，F为抛物线的焦点．若线段MN的中点的纵坐标为2，

2633|MF||NF|10，则直线MN的方程为_________.

15．在等差数列{an}中，a12016，其前n项和为Sn，若于 .S10S82，则S2016的值等108【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.16．在ABC中，C90，BC2，M为BC的中点，sinBAM17．不等式axa1x10恒成立，则实数的值是__________.

21，则AC的长为_________.3三、解答题

18．设极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O为极点，x轴坐标轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3=0，曲线C2的参数方程为（Ⅰ）求C1的直角坐标方程和C2的普通方程；

（Ⅱ）若C1与C2有两个不同的公共点，求m的取值范围．　

（t是参数，m是常数）．

19．已知三次函数f（x）的导函数f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b，a、b为实数．

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（1）若曲线y=f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a的值；

（2）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，且1＜a＜2，求函数f（x）的解析式．　

20．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：

[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；

（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．

21．已知数列{an}的前n项和Sn=2n2﹣19n+1，记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|．（1）求Sn的最小值及相应n的值；（2）求Tn．

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22．直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；

（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为若不存在，说明理由．

？若存在，说明点D的位置，

23．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在[10,60]岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成5组，分别记为A,B,C,D,E，其频率分布直方图如下图所示．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；

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（Ⅱ）该团导游首先在C,D,E三组中用分层抽样的方法抽取了6名团员负责全团协调，然后从这6名团员中随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自C组的概率．

24．（本小题满分12分）已知函数f(x)eaxbx.

（1）当a0,b0时，讨论函数f(x)在区间(0,)上零点的个数；（2）证明：当ba1，x[,1]时，f(x)1.

x212第 7 页，共 18 页

阳原县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A【解析】试题分析：

4a02ai2ai2i4a(2a2)i，对应点在第四象限，故，A选项正确.2i52i2i2a20考点：复数运算．2． 【答案】B

3． 【答案】D

【解析】解：抛物线x=﹣4y2即为y2=﹣x，

可得准线方程为x=故选：D．

4． 【答案】A. 【

解

析

】

．

5． 【答案】A

【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），∴函数f（x）关于x=m对称，若φ∈（

，

），

则sinφ＞cosφ，

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则由f（sinφ）=f（cosφ），则即m=当φ∈（则＜

，

=m，

=

（sinφ×

∈（，

+，

cosαφ）=），

sin（φ+

）

），则φ+

）＜

sin（φ+

，

则＜m＜故选：A

【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．　

6． 【答案】C【解析】

考

点：茎叶图，频率分布直方图．7． 【答案】D【解析】解：∵A=2B，

∴sinA=sin2B，又sin2B=2sinBcosB，∴sinA=2sinBcosB，根据正弦定理sinA=

，sinB=

=，

=2R得：

代入sinA=2sinBcosB得：a=2bcosB．故选D　

8． 【答案】A

【解析】解：点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x，y轴对称，如图所示．由图可得面积S=故选：A．

=

+

=

+2

．

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【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．　

9． 【答案】D【

解

析

】

考

点：简单线性规划．10．【答案】D

【解析】当x3时，y是整数；当x3时，y是整数；依次类推可知当x3(nN*)时，y是整数，则

2n由x31000，得n7，所以输出的所有x的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D．

n11．【答案】A

【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．

②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选A．

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【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．　

12．【答案】A

【

解

析

】

二、填空题

13．【答案】2【解析】由题意，得C6m160，即m8，所以m2．14．【答案】xy20【解析】解析： 设M(x1,y1)、N(x2,y2)，那么|MF||NF|x1x2210，x1x28，∴线段MN的中点坐标为(4,2).由y14x1，y24x2两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，而

22333y1y22，∴2y1y21，∴直线MN的方程为y2x4，即xy20.

x1x215．【答案】201616．【答案】2【解析】

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考点：1、正弦定理及勾股定理；2诱导公式及直角三角形的性质.

【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可， 对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）.17．【答案】a1【解析】

试题分析：因为不等式axa1x10恒成立，所以当a0时，不等式可化为x10，不符合题意；

2当a0时，应满足a0(a1)4a02，即a0(a1)02，解得a1.1

考点：不等式的恒成立问题.

三、解答题

18．【答案】

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+3=0，x2﹣y2+3=0【解析】解：（I）曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3=0，即ρ2（cos2θ﹣sin2θ）可得直角坐标方程：．

曲线C2的参数方程为

（t是参数，m是常数），消去参数t可得普通方程：x﹣2y﹣m=0．

（II）把x=2y+m代入双曲线方程可得：3y2+4my+m2+3=0，由于C1与C2有两个不同的公共点，∴△=16m2﹣12（m2+3）＞0，解得m＜﹣3或m＞3，∴m＜﹣3或m＞3．

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与双曲线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．【答案】

【解析】解：（1）由导数的几何意义f′（a+1）=12∴3（a+1）2﹣3a（a+1）=12∴3a=9∴a=3

（2）∵f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b∴

由f′（x）=3x（x﹣a）=0得x1=0，x2=a∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2

∴当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0）∵f（0）=b，∴b=1∵

∴f（﹣1）＜f（1）

∴f（﹣1）是函数f（x）的最小值，∴∴

∴f（x）=x3﹣2x2+1

【点评】曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．　

20．【答案】

，

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【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018，

前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．

（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人，∴这2人成绩均不低于90分的概率P=

=．

【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．　

21．【答案】

【解析】解：（1）Sn=2n2﹣19n+1=2∴n=5时，Sn取得最小值=﹣44．（2）由Sn=2n2﹣19n+1，∴n=1时，a1=2﹣19+1=﹣16．

n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣19n+1﹣[2（n﹣1）2﹣19（n﹣1）+1]=4n﹣21．由an≤0，解得n≤5．n≥6时，an＞0．

∴n≤5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣（a1+a2+…+an）=﹣Sn=﹣2n2+19n﹣1．n≥6时，Tn=﹣（a1+a2+…+a5）+a6+…+an=﹣2S5+Sn=2n2﹣19n+89．∴Tn=

．

﹣

，

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．　

22．【答案】

【解析】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），

且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），

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则 D（λ，0，1），所以∵

=（0，1，），∴

•

=（=

，，﹣1），=0，所以DF⊥AE；

．

（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下：

设面DEF的法向量为=（x，y，z），则∵

=（

，，），

=（

，﹣1），

，

∴，即，

令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为∴|cos＜，＞|=解得

或

=

，即

，

=

，

（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．

【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．　

23．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识，意在考查审读能力、识图能力、获取数据信息的能力．

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e2e2e224．【答案】（1）当a(0,)时，有个公共点，当a时，有个公共点，当a(,)时，有个公共

444点；（2）证明见解析.【解析】

exex试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得a2,构造函数h(x)2,利用h(x)'求出

xxe2单调性可知h(x)在(0,)的最小值h(2),根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数

4h(x)exx2x1,利用导数可判断h(x)的单调性和极值情况,可证明f(x)1.1

试题解析：

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e2当a(0,)时，有0个公共点；

4e2当a，有1个公共点；

4e2当a(,)有2个公共点.

4x2'x（2）证明：设h(x)exx1，则h(x)e2x1，

令m(x)h(x)e2x1，则m(x)e2，

'x'x11'22'当x(ln2,1)时，m(x)0，m(x)在(ln2,1)上是增函数，

因为x(,1]，所以，当x[,ln2)时，m(x)0；m(x)在[,ln2)上是减函数，

12第 17 页，共 18 页

考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式；4.函数的零点.

【方法点睛】本题主要考查函数的极值，函数的单调性与导数的关系，不等式，函数的零点.有关零点问题一类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:（1）解方程判定法,若方程易求解时用此法；（2）零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识；（3）数形结合法.在研究函数零点,方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

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